Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящей работе мы, однако, увидим, что метод бесконечно малых преобразований приводит именно к комплексу , если исходить из вариационного принципа в другой форме. Известно, что уравнения гравитационного поля могут быть получены из нелагранжева вариационного принципа, если в качестве подынтегрального выражения варьируемого интеграла взять плотность скалярной кривизны
3I = V=^jjR9 (16)
которая является функцией glk и их первых и вторых производных по пространственно-временным координатам. На самом деле, из этого вариационного принципа обычно исходят при выводе лагранжева принципа. В противоположность лагранжиану S величина 9? является скалярной плотностью при произвольных пространственно-временных преобразованиях. Поэтому метод бесконечно малых преобразований, примененный к 9і вместо 2, приводит к комплексу с более широкими свойствами симметрии, и, как МЫ увидим В § 3, ОН приводит именно К величине Si^1).
В § 2 описывается «метод бесконечно малых преобразований» для общего случая уравнений поля, следующих из нелагранжева вариационного принципа, в котором подынтегральное выражение V в варьируемом интеграле зависит также от производных переменных поля выше первого порядка. Этот метод применяется в § 3 к гравитационному полю, причем величина V равна 9ї/х. Как отмечено выше, это приводит непосредственно к соотношениям (10)-(13). В качестве примера мы применяем этот метод также к плотности лагранжиана материи и в этом случае, конечно, приходим к известным результатам Розенфельда [13] и Белинфанте [14], относящимся к симметричной форме тензора энергии, связанной с материей. Это показано в § 4. В остальных параграфах более подробно исследованы некоторые трансформационные свойства комплекса %ik при произвольных пространственно-временных преобразованиях. Полученные результаты предполагают конкретизацию понятия локальной инерциальной системы.
Ср. Мицкевич Н. В., Ann. d. Phys. If 319 (1958).— Прим. ред. 10O
X. Мёллер
§ 2. Метод бесконечно малых преобразований в применении к нелагранжевым системам полей
Рассмотрим, вообще говоря, незамкнутую систему полей с переменными поля Ya (х) и их производными по пространственно-временным координатам
va__dYA va _ д*УА У і 9 * І yk~-
Oxi' 1' дх{ дхк '
Предполагается, что уравнения поля могут быть получены из вариационного принципа. Прежде всего предположим, что подынтегральное выражение варьируемого интеграла V является алгебраической функцией лишь величин Ya и их производных первого и второго порядков. Тогда уравнения поля примут вид
OV -Л (17)
б Ya
где величины Ja являются «источниками» поля и, вообще говоря, зависят не только от переменных Ya и их производных. Здесь
6V =дУ f W \ +fJ}L\ (18)
6УА KdYtJ9, KdYtjkJ9ijk
суть «вариационные производные» от величины V по переменным Ya. Содержащиеся в (18) частные производные имеют несколько символический характер, так как Ya1 Ya и Yfik не являются, вообще говоря, действительно независимыми переменными. Они определяются следующим образом. Рассмотрим произвольные вариации 6УА величин Yaj которые подразумевают определенные вариации
OYf = (6УАЬ, 6УАЛ = (6УА)Д ik (19)
величин yf и УА ft, а также алгебраического выражения V [Yaj yf, YA)k). Тогда частные производные в (18) следует определить соответственно как коэффициенты при 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 91
бYaj oYi и oYi ,ft в вариации OV величины V, т. е.
6V = бу а + av oya _dv_ б у а (20)
dY dY? dY?k ' V }
(суммирование по Л, / и k\).
Ввиду того, что SYfyk = SYk ,и члены в уравнении (20) можно сгруппировать таким образом, чтобы коэффициенты при bYt,k и при бYk ti совпали. При этом условии мы получим
-jT-T- (2D
В случае, когда переменные YA не независимы (например, в некоторых дальнейших приложениях), скажем, YA = YA f мы используем аналогичное правило симметризации и получим
Л—(22)
dY дУл V '
Рассмотрим теперь произвольное бесконечно малое пространственно-временное преобразование
? = Xi + Iі (*). (23)
Во всех рассмотренных ниже случаях локальная вариа-б YA = Ya(x)-Ya(X) (24)
ция Ya(x)
имеет вид
6УА = UaUV -Yfli, (25)
где ^fft — линейные функции переменных поля. Поэтому с помощью соотношений (19) получим
oyf = uAki l\k fl + (иЧ fl - Ytoi) Iiik - Yt9I Г. (26)
Для обеспечения общей ковариантности уравнений поля (17) мы предполагаем теперь, что величина V есть скалярная плотность. Поэтому в любой точке четырехмерного мира и для произвольных функций (х) должно 92
X. Meллєр
иметь место соотношение
W + (VlhIk = O. (27)
Если мы интегрируем соотношения (27) по конечной области Q четырехмерного мира, то путем интегрирования по частям при равенстве нулю всех функций (х), а также их производных первого и второго порядков на гиперповерхности, ограничивающей область Й, получим
^ OYAdx = 0, (28)
где 6V76yA — вариационная производная, определяемая равенством (18).
Тогда, учитывая соотношение (25) и продолжая интегрировать по частям, получаем
-H^GMjJ<29)
