Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Введение и выводы
В общековариантной теории, например в теории гравитации Эйнштейна, когда уравнения поля выводятся из вариационного принципа, может быть определено большое число «сохраняющихся» величин (см., например, [1, 2]). Поэтому необходимы особые критерии для отбора из этого множества сохраняющихся величин тех, которые имеют физический смысл. В частности, возникает проблема нахождения правильных выражений для псевдотензора энергии-импульса. В случае лагранжевой системы, когда уравнения поля следуют из плотности лагранжиана ?, являющейся функцией переменных поля и их производных лишь первого порядка и преобразующейся как скалярная плотность при произвольных пространственно-временных преобразованиях, известный «метод бесконечно малых 86
X. Мёллєр
преобразований» приводит к естественному выбору комплекса энергии-импульса
В случае гравитационных полей можно записать уравнения поля в лагранжевой форме с плотностью лагранжиана S = S (gik, g]k), являющейся скалярной плотностью лишь при произвольных линейных преобразованиях. Ввиду этого обстоятельства при использовании метода бесконечно малых преобразований приходится ограничиваться линейными преобразованиями, и полученный таким путем «канонический» комплекс энергии-импульса Qi1 не обладает всеми трансформационными свойствами, требуемыми физической интерпретацией его компонент. Канонический комплекс бД следующий из инвариантности S при произвольных линейных преобразованиях, имеет вид
®ik =V^g (Tik+bih) = Sikla. (1)
Здесь Ti- тензор материи, стоящий в правой части уравнений гравитационного поля
Gik'^ Rik--^gikR= -*Tik. (2)
Здесь g = det {gik} — детерминант метрического тензора gik и
(3)
Далее,
і ag .
Sl - * dgim ё W
есть величина, введенная Эйнштейном [3] и Толменом [4], a Qife удовлетворяет соотношению
ь a©.fe
= (5)
Мы принимаем терминологию Лоренца, называвшего комплексом ковариантно определенную величину с тензорными индексами, которая, однако, ведет себя как тензор, или тензорная плотность, лишь при линейных пространственно-временных преобразованиях. 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 87
Простое вычисление показывает1), что Si имеет вид
„hl і kl , klm
S{ =? + at >m, (Ь)
где
V1 = - Allk = -^5= [( - fir) (gkn glm - gln e*m)]Bm,
2x у — g
і/- (7)
Alfc^ = -4^ = ^(61^-6??').
2 X
Ввиду антисимметрии последней величины по индексам Z и т величина CLiklmJim равна нулю, и комплекс Qk с помощью
соотношений (1) и (6) может быть выражен через «супер-
1 ki
потенциалы» hi :
Oifc = Aifc1,!. (8)
Теперь соотношение (5) становится простым следствием равенства (8) ввиду антисимметрии hkl по индексам k и /. Хотя интегралы
Pi = I ^ Qi4Clx1Cixzdx3 (9)
дают правильные значения полных энергии и импульса замкнутой системы, по крайней мере, если используются квазигалилеевы координаты, все же величина Sk не является корректным выражением комплекса энергии и импульса, так как она теряет физический смысл при рассмотрении распределения в пространстве энергии и ее потока. В нашей недавней работе [10] было предложено другое выражение для комплекса энергии-импульса. Он определяется выражением
Ъ* = VzrIl (Т* +Uh), (10)
V~g tik = V~g^-±Gik + - 6fc h/\t + hj\i. (11)
1J См., например, Приложение в работе [10]. После того, как
настоящая работа была закончена, мы обнаружили, что существова-
ние антисимметричной величины Jikli которой дано название супер-
потенциалов, было установлено много лет назад—сначала в работе [5],
а позднее в работе [6] (см. также [7-9]). 88
X. Meллєp
Исключая Ті с помощью уравнений поля (2), можно выразить %ik через суперпотенциал %.fez:
Sifc = X",. (12)
где
x.fti = _ x.ift = 2/i,w - 6* Л/'+ ol A/" =
= (g,n >то - Sim ,n) Л'"' (13)
так что
Sifcifc = O. (13')
В случае замкнутой системы комплекс Sifc дает для полных энергии и импульса
Pi = \ ^ Si4Ct*1 dx2dx3 (14)
те же значения, что и каноническая величина @ik в (9), по крайней мере в тех случаях, когда последняя вообще приводит к разумному результату. Однако выражения (14) являются более общими и дают правильные значения энергии также при интегрировании по конечным областям пространства. Это связано с тем обстоятельством, что S4fe в противоположность ©4fe преобразуется как векторная плотность при чисто пространственных преобразованиях
xi = fi(x*), X4 = X4; (15)
это свойство является необходимым условием для возможности интерпретировать S44 и S4* соответственно как плотности энергии и ее потока. Более того, в последней нашей работе [И] (см. также [12]) было показано, что псевдотензорная плотность Sifc, определенная соотношениями (10)— (13), однозначно определена этим требованием. Поэтому с физической точки зрения, казалось бы, величина Sift является корректным выражением для комплекса энергии-импульса, однако в действительности метод бесконечно малых преобразований, будучи примененным к лагранжиану 2, приводит к выражению Qift, что говорит в пользу канонической величины Qift. 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 89
