Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
— (a і,S ,t OA + af }Sam >n) brlmn}. (124)
С помощью равенств (108), (109) и (111) можно найти удобное явное выражение для t*. Прежде всего, в антисимметричном выражении (108) обычные производные аПуГП можно заменить на ковариантные ап ;т, являющиеся компонентами тензора. Следовательно,
= (al і')
и
^ = tf? = y—g [ ^L ]; = O (a'(;fe - J>x••'). (125) 10O
X. Мёллер
Применим далее правило коммутации для повторного ко-вариантного дифференцирования
a1 >k;i = Q1iCh - RiW = (ah)* - RhiUi, (126)
где Rikim- тензор кривизны Римана, a Rik — свернутый тензор кривизны. Поэтому на основании (125), (126) и уравнений поля (2) получим
V^TUi[(а№-(ак'%). (127)
Выбирая теперь а1 равными постоянным є1, приходим, согласно (111), к формуле
= EiXih =V^ (TU-Uh) г1
и после простых вычислений —к соотношению
оO1ilYk - (ак .-і)., = [(Гіг)'" - (lV"),m -- TlTlmlgmn -TLvTngln] 8і.
Поэтому, так как постоянные е* произвольны, ния (127) и (128) дают
J. k R і о k
ІІ = — ~Г Ii >
где
Kthi = (Thyk-(Г?г)'г-
Гь ( Im , Imrn \ PtnFft ^n U {gm -Vg 1 тп) — 1 irU Img
и
(TU)'™ = (Tki),ngmn.
Разность между tk и th является тензором. Таким образом, закон преобразования (124) справедлив и для t Д В силу уравнений (10), (13') и (71) th удовлетворяет закону сохранения
(V^gtf)tk= — (V~—g T*i),h = --^gftjliTft' (132)
в любой координатной системе. Но, как известно, всегда можно бесчисленным множеством способов придти к коор-
(128)
(129) соотноше-
(130)
(131) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 111
динатным системам, геодезическим в данной точке О в четырехмерном мире, т. е. к системам, в которых первые производные метрического тензора обращаются в нуль в точке 0. Тогда в этой точке, которую мы выбираем за начало координат геодезической системы, соотношение (132) сводится к
tik ft = 0,
(133)
Thith = о, 1
т. е. закон сохранения принимает ту же форму, что и в инерциальной системе координат в специальной теории относительности. Поэтому геодезические системы координат часто называют локальными инерциальными системами. Однако, вообще говоря, комплекс th не равен нулю в геодезической системе, и, как мы увидим в § 7, представляется рациональным использовать последнее обозначение лишь для некоторого ограниченного класса геодезических систем. В некоторой общей геодезической системе, согласно (129), (131), (ИЗ) и (13), в начале координат имеем
'¦---аг+'*.
tf = (Ttil)*-(Tby1f (134)
х«=,0, 6«™ = 0.
Пусть теперь обе координатные системы (х1) и (хп) в (124) являются геодезическими в точке 0, что означает равенство нулю в точке 0 первых производных от
(X * Т. Є.
<4,„ (0) = 0. (135)
Положим далее
4(0) = ?. (135')
что не вносит существенного ограничения. Тогда в начале координат наших геодезических систем закон преобразования (124) принимает вид
tih — th — ai tm >n (0) brmn. (136) X. Мёллер
Здесь величины а[ >т ,п могут представлять собою любой набор чисел, симметричный по индексам /, тип.
Остается решить, могут ли коэффициенты ai,m,n(0) быть выбраны таким образом, чтобы величины Uk обратились в нуль в точке 0. Легко видеть, что это не всегда возможно, так как диагональная сумма ^1, очевидно, инвариантна относительно перехода от одной геодезической системы к другой. В самом деле, из (136) получим
= (137)
так как последний член в (136) обращается в нуль при свертке по индексам / и k в связи с симметрией a[ >т >п и антисимметрией Ьггтп по индексам і и т.
Далее, вследствие (134)
Ui = (TliYi-(Tiil)'1 = 0, f.'=-.?« (138)
* X '
так что ясно, что преобразование (136) не может обратить t'i в нуль, если только скалярная кривизна не равна нулю в точке 0. С другой стороны, ввиду равенств і? = U1 0 и законов преобразования (136), верных также и для t Д всегда представляется возможным выбрать такую геодезическую систему, в которой обращаются в нуль
все компоненты
В следующих параграфах мы увидим, что это в действительности имеет место для большой группы геодезических систем — для «локально нормальных» систем координат.
§ 6. Нормальные координатные системы
Среди координатных систем, являющихся геодезическими в данной точке 0, выделенную роль играют нормальные координаты, введенные еще Риманом для случая двумерных поверхностей. Определяются они следующим образом. Пусть (х1) есть некоторая произвольная 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 113
система координат. Тогда геодезические линии могут быть определены уравнениями
Vxi , dxhdxl Л
где параметр X определен с точностью до линейного преобразования. Для всех геодезических, кроме нулевых линий, параметр X пропорционален инвариантному четырехмерному интервалу s. Рассмотрим теперь все геодезические, проходящие через точку 0. Они определяются касательными в нуле векторами с компонентами ?l = = ((IxiIdk) I х=о» В определенной конечной окрестности точки 0 будет лишь одна геодезическая, проходящая через данную точку P. Эту точку можно поэтому охарактеризовать четырьмя числами:
