Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Новейшие проблемы гравитации" -> 33

Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.

Иваненко Д. Новейшие проблемы гравитации — Москва, 1961. — 489 c.
Скачать (прямая ссылка): noveyshieproblemi1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 142 >> Следующая


где Ai зависит от переменных гравитационного поля лишь 10O

X. Мёллер

на пространственной бесконечности. Гравитационное поле может поэтому формально трактоваться как каноническая система. Однако, даже если не обращать внимания на трудности, уже имеющиеся в классическом рассмотрении и проявляющиеся при переходе от лагранжевой к гэмиль-тоновой форме вследствие различных типов ограничений [15—18], мы все >ле сталкиваемся с трудной проблемой определения правильного порядка сомножителей при переходе к квантовому описанию по обычным правилам квантовой механики. Следует отметить, что разделение величины %ik на части, отвечающие материи и гравитационному полю, является в значительной степени произвольным ввиду того обстоятельства, что тензор материи является источником гравитационного поля. С помощью уравнений гравитационного поля большая или меньшая часть тензора Ti могут быть исключены из ЖД Если мы полностью исключим Ti, то придем к простому и удобному выражению (12), зависящему лишь от переменных гравитационного поля.

Для полных энергии и импульса системы получим тогда величину

Pi=-dx1 dx2 dx3 = IJ Xi4 д dx1 dx2 dx\

которая может быть на основании теоремы Гаусса записана в форме поверхностного интеграла, зависящего лишь от переменных гравитационного поля на пространственной бесконечности.

§ 5. Трансформационные свойства ЗД и t*

Комплекс энергии-импульса является тензорной плотностью лишь при линейных преобразованиях. Исследуем теперь трансформационные свойства ЗД и tf при более общих пространственно-временных преобразованиях. Для этого сначала рассмотрим произвольное векторное поле аг(х) и антисимметричную тензорную плотность

Sw= - = (On lM -amJgkm gln, (108 )

ai (X) = gm ак і*)- 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 107

Отсюда видно, что для произвольного векторного поля а1 (X) векторная плотность

Sft = Sft/ (109)

удовлетворяет соотношению

Ift = O (110)

ввиду антисимметрии величины ^hl по индексам k и /. Как было замечено Комаром [19], векторная плотность тесно связана с комплексом ЖД Действительно, полагая контравариантные компоненты произвольного векторного поля ai равными постоянным ег в некоторой системе координат, получаем с помощью (108), (109), (12) и (13)

# = 8і [Q(gin lW- gim ,„)ЛгП] , = «%Ы,. = SiSift-

(111)

С другой стороны, для произвольного векторного ПОЛЯ а1 (х) найдем

^ = -а\тЬЇХт, (112)

так как

І і ап ,т~ а gin ,m ~~~ a,mgin>

где bihlm — тензорная плотность 4-го ранга, определяемая соотношением

ЬЇіт= ^bilkm^^-^(okiglm--8lghm). (ИЗ)

Следовательно, на основании (109), (112) и (12) получим

Sft = O1Sf + Oitl (Xi" - bihm\m) - a\i ,mbiklm. (114)

Рассмотрим теперь произвольное пространственно-временное преобразование (**)—>(*'*), для которого

«I (*)--§?. Ъ = (П5)

Так как Sft — векторная плотность, то

S'"= I a |aftS' = I а | ш {о^ + ar,m (Xr1"1 - ЬгЫтп) - а\т ,пЬгШп),

(116) 10O

X. Мёллер

где I a I = det {а\} — детерминант матрицы а\> Полагая компоненты ап в штрихованной системе равными константам є\ получаем

Ar=Oleif (117)

г _ S г

— OmCtf (

где

,n — Ctm CtmCtnCti >s ^Є ,

av s d2x's

's "" дх'їдх'* ' m 'n ~~ d*wd;tn

-r d*xr

aI ,S dx'idx>sdx>t

(118)

Подстановка выражений (117) в (116) при учете произвольности констант єг приводит к следующему закону преобразования для комплекса

= І ї I + I a I a? (? ,sc4 (Xrlm - Ьг1™) -

- (аІ ,з ,<c4ctn + а[ >sam ,„) brlmnl (119)

Последний член в правой части соотношения (119) описывает отклонение от закона преобразования тензорной плотности. При линейных преобразованиях, когда а\ iS = a[)S>t = = 0, этот член равен нулю в соответствии с тем фактом, что %ih является аффинной тензорной плотностью. Более того, при чисто пространственных преобразованиях (15) мы получим

ї: = й = 0«г, aj.. = 0, (120)

т. е.

Ї4 =|a Iafa4'. (121)

Из этого соотношения видно, что четвертый столбец матрицы %ik при преобразованиях (15) преобразуется как векторная плотность; это свойство было исходным требова- 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 109

ниєм при выводе величины в работе [10]. Кажущаяся выделенность временной координаты в отношении этого свойства не является неожиданной, так как в этой теории плотности энергии и ее потока связаны с «временным столбцом» величины Действительно, если обозначить через а какое-либо значение индексов 1, 2, 3, 4, то а-й столбец величины %а также будет преобразовываться как векторная плотность при преобразованиях

Xta = Jtf19 Xfi^fi(Xh) (і Фа, кфа), (122)

так как в этом случае мы имеем

пг — дхГ — лг

ox (123)

Однако при а Ф 4 это свойство не поддается простой физической интерпретации. _

Так как отвечающая материи часть V — gTi комплекса преобразуется как тензорная плотность, мы получим закон преобразования для гравитационного комплекса Uk9 определенного равенствами (10) и (11), в форме

j'k tCm, I , k гГг s /у Im і Inm^

ti =CLiaitm +0*1 {ai|Sam(3Cr — br ,n) —
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 142 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed