Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Отбрасывая в (151) последний член, получаем обычное преобразование, приводящее к геодезическим системам.
Рассмотрим теперь область четырехмерного мира, не содержащую материи, т. е. такую, где
Ti = 0, /?? = О, Ri ,г = 0. (153)
В этом случае, согласно (10) и (130), имеем
Xik = V^gtih, tik=ti\ (154)
В пустом пространстве представляется естественным определить локальную инерциальную систему как такую систему, в которой не только метрический тензор является локально постоянным до членов первого порядка, но и комплексы ^ift и tik обращаются в нуль в начале координат. С такой точки зрения локально инерциальными системами следует называть лишь нормальные системы по меньшей мере второго порядка, так как, согласно (146), (147) и (153), мы лишь для таких систем имеем
%ih (0) = °tik (0) = tik (0) = 0. (155)
Если же рассматриваемая система является нормальной даже более высокого порядка, величина может также оказаться локально постоянной, так как из (149) и (153) следует, что
їДг =ti\r =0 (156)
в начале координат.
С другой стороны, внутри материи, где отличны от нуля величины Ti, Ri, а также, вообще говоря, и R, на основании (147) во всех нормальных системах не ниже второго порядка имеем
b'(O)--^. „57, 118
X. Meллєр
Таким образом, комплекс t\ отличен от нуля, если только не выполняется равенство Т\ Rjn = 0, как, например, оно выполняется в том случае, когда материя представлена лишь электромагнитным полем. Более того, рассуждения § 5 приводят нас к заключению, что вообще невозможно найти такую геодезическую систему, в которой комплекс t{k точно обращался бы в нуль. Лишь комплекс t\k может быть, вообще говоря, устранен полностью путем введения локально нормальных систем второго порядка.
Таким образом, эти системы внутри материи едва ли заслуживают названия локальных инерциальных систем. В последующей работе будет показано в другой связи, что более естественно сохранить это название для класса систем, лишь приближенно являющихся локально нормальными системами координат.
Приложение А
Из равенств (62) и (64)
^ = xArr,lt = (rf + 2fir"»Tim)>1, (АЛ)
где
,,----дт]
Л =F -g, Лm =
О Ik
мы получим для произвольных вариации g"
0? = TlOgimm + gr'sOTl + 3g?r6T!ft + МіЧш +
+ +SgiftH (А.2)
Дифференцирование соотношения
(А.З)
приводит к равенствам
0?= -^tamWm+ WglH (А.4) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 119
и
Srii Jk= -4" [tolmb ^glm + (ШтШ? +
+ (Tlgim)1Mm + ^lgimSglrft]. (А.5)
Подставляя эти выражения в (А.2) и переставляя некоторые члены, 6f) можно записать в виде
0? = Л + Sgl" +
+ [4(^+^)-4^"^-2^^)^] X
X dgjr + [ 2x]t >т - g" (TIglm) ІГ >s - 4 g? (4glm\r-
-4 ^rf1S ] 6^im- (A-6)
Следовательно, по определению
Jglm = 2ГЦ ,то - g" (4glm),r ,s ~ ~Y (1Iglm), rg? ~
-4 »lg«»«"., (A.7)
^=4 ^ + Sftm)-4Літ-2gh'(Xiglm)tr1 (A.8)
-фг = Л [4 (6'6- + б< - SikSim ] • (А.9)
Легко видеть, что эти выражения согласуются с тождествами (66).
Используя соотношение
ЛІ = - і ЩшёТ> (А. Ю)
из (А.9) получаем
uSi ,k у
= hgf + = (А. 11) 120
X. Meллєр
откуда видно, что последний член в (74) равен нулю. Далее, на основании (А.8) и (А.9) следует
- Y gir4gim-gkr (т ш),г, (А.12)
28?Ці+^4 - (Tl glmur
и
(? V™ = і+w " gTr]glm ~
- ghr Olglm). І = g^i + SgfTlr _ ^r (Tiglm)jig^. (А. 13)
Таким образом, для величины А*, определяемой (74), находим выражение
= gftr [ - 1Irglmgfn + Tljgimgrm -
-i\(gim,rglr-gim,iglrm)] = V> (А-14)
где учтено равенство (А. 10) и соотношение
glm.i= -glsgfgtm' (А-15)
которое получается из уравнения
^gftl = Sf (А. 16)
путем дифференцирования последнего. Мы имеем далее
Л-О тт+б?б<) - Vmgrs ] ^=
I ,m
= + = (А-17)
откуда на основании (75) следует выражение (76) для Ki1-Наконец, мы должны вычислить величину Ві\ определенную равенством (81). Для первого члена с помощью 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 121
(А. 12) найдем
-glr(ngin),r] gkn = 0{Лп + r\igkl-Y--
-glmOl mgin + T\gin,m)ghn,
а для второго и третьего членов с помощью (А.9) найдем
?^gt: = [ (o's« + бГбі) - Vgimgi n ] g*r=
о I ,m
__ Л Mgbrn , JIbJ _L аітТ10 — 2 tom t Tg Hginmg >
- Ж ^ Vn L = - -H 4+бГб">g,tn -
- gl'n4gingkn ]= -4 б! (T!gAm),m -
(VOli+I^VmU-
Следовательно, x?iw == 4 б! (Tlgr + 2gftmT|m) - і- oj (тцг? + 2^) +
+ J б? (Tlg'"')., - і б! (T1^)tm + T1,.^' + Л-ії-і (Vghl)fi
(А. 18)
и
Bi1-Bik = 6|/!rrft-6tV + + ^ MV")-«і (Vm)U- (А-19)
С другой стороны, на основании равенств (6) и (7) имеем
Si"' - SiI* = 2 V + JL [S^g""1) - 6* (Vm)Jim, 2hiM = gin (g^m _ ^yn + 122
X. Мёллєр
Таким образом, с помощью (64) и (80) имеем
LVil = SiftI-Silft + ^'-Mft =
= ^ gin (g^Im-g-Vm) = = ^ (gin ,m - gim ,«) gkmgln = ^iftl. (A-20)
где величина Ikl определяется соотношением (13).
Приложение Б
Система нормальных римановых координат в четырехмерном мире определяется уравнениями (143), которые должны быть удовлетворены во всех точках. Тогда, отбрасывая значок «о» над символами величин, т. е. записывая
