Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
• • * diL діL *
O ІРпЧп ~ L) = pj>qn + ЯпЬРп - ЬЯп--r =
dqn dqn
= qJ>Pn-^bqn. (5)
Так как члены с bqn взаимно уничтожаются, то вариация величин qn, сохраняющая соотношения (1) без какого-либо изменения в величинах qn и рп, не изменяет
pnqn — L. Это означает, что pnqn —L является функцией только от qn и /?Л, так что мы можем положить
pnqn-L = H(q, /?). (6)
Функция Я (9, /?), разумеется, определена неоднозначно. Мы можем изменить ее следующим образом:
Я —> Я + cm(pm, (7)
где ст — произвольные функции <7П и pn. В том случае, когда L является однородной функцией первой степени
относительно qn, мы можем взять Я = 0. Теперь соотношение (5) дает
аяс , ая о -о ы * + 57n 6<7n = ~ Wr, bq^
для вариаций бqn, брп, которые ограничены соотношением (4), но в остальном произвольны. Отсюда следует, что
п _ а// і ,у д(Рт /ON
__dL__dH ckprn /QN
дяп~дЯп+итддп W
при надлежащих коэффициентах ит. При преобразовании (7) ит изменяются на функцию только qn и /?п, а именно, на величину — ст. 3. Обобщенная динамика в гамилыпоновои форме
131
Уравнения (8) показывают, что qn определяются величинами qn вместе с N-M независимыми переменными р и M новыми переменными Ufn. Поэтому мы можем взять в качестве наших основных динамических переменных вместо qn и qn величины qn, рп и ип. Они являются переменными в гамильтоновом формализме.
Уравнения движения (3), в силу (9), принимают вид
<10>
Используя скобки Пуассона, определенные обычным образом:
г л т-дАдв дАдв пп
мы имеем для любой функции g от qn и рп\
g=te, m + um[g, фт]. (12)
Уравнение (12) заключает в себе все уравнения (8) и (10)* Это общее уравнение движения в гамильтоновом формализме.
Определение (И) скобок Пуассона требует, чтобы Чп и Pn рассматривались как независимые переменные. Любые соотношения, которые ограничивают независимость Яп и Рп> такие, как соотношения (2), нельзя использовать, прежде чем вычислены скобки Пуассона, поскольку в противном случае последние перестают быть хорошо определенными величинами. Чтобы помнить об этом ограничении при использовании некоторых из наших уравнений, удобно назвать такие уравнения слабыми уравнениями и писать их в виде
Ф
%-уравнения
Дифференцируя (2) по времени и используя (12), получаем
[фт', #] + Ит[фт/, фт] = 0. (13)
Эти уравнения, если все они не сводятся к тождеству 0 = 0, будут уменьшать число независимых гамильтоновых
9* 132
ff. Дирак
переменных <7, р, Uj устанавливая некоторые соотношения между ними.
Может случиться, что уравнения (13) приведут к некоторым соотношениям только между qn и рп, независимым от ф-уравнений. Они должны быть слабыми уравнениями, так что мы запишем их в виде
Xk(q> Р)~ 0 (?=1, 2, ...). (14)
Дифференцируя каждое из уравнений (14) по времени, получаем
[Xk, H] +UnIxh9 <PJ = 0. (15)
Эти уравнения могут привести к новым соотношениям только между qn и /?п, которые представляют собой новые уравнения (14), ведущие в свою очередь к новым уравнениям (15). Мы продолжаем эту nj/оцедуру, насколько это возможно, и тем самым получим все уравнения (14) и (15), которые являются следствием соотношения (2) и общего уравнения движения (12). Пусть полный набор этих уравнений описывается значениями &=1, 2,...,/(. Тем самым мы уменьшили число независимых переменных рп и qn до 2N — M — К и получили ограничения на величины иш в виде уравнений (13) и (15), поскольку эти последние не сводятся к тождествам 0 = 0 или к %-урав-нениям.
Будем теперь рассматривать эти уравнения (13) и (15) как уравнения для неизвестных W71, где коэффициенты являются заданными функциями qft и рп. Они должны иметь некоторое решение
= Р), (16)
ибо отсутствие решения означало бы, что уравнения движение Лагранжа (3) несовместны. Решение (16) означает, что уравнения
[фт,, Я] + Um [qw, <Pj * 0, [ЗЬ, H] + Um[u, Фи] ^ о * ;
выполняются как следствия (2) и (14).
Решение (16), вообще говоря, не является единственным. Мы можем добавить к Um любое решение 3. Обобщенная динамика в гамилыпоновои форме_133
Vm = Vm(q, р) уравнений
^m [qw, <pj 0, Kw [Хк, q>J ^ 0. (18)
Обозначим все независимые решения (18) через Vam (а = = 1, 2, ...,Л). Тогда общее решение уравнений (13) и (15) будет
Un^ Un+UaVam9 (19)
где ^ — произвольные коэффициенты.
Мы можем использовать уравнения (19), чтобы исключить переменные ит\ тем самым мы будем иметь в качестве основных гамильтоновых переменных 2N — M — K независимых qn и /?п, допускаемых уравнениями (2) и (14), и Л переменных va. Общее число этих переменных может быть меньшим, чем первоначальное число 2N независимых переменных, так как уравнения движения могут уменьшить это число.
Андерсон и Бергман [2] называют ф-уравнения первичными, а %-уравнения — вторичными связями. Для многих целей ф- и %-уравнения рассматриваются как равноправные, и тогда удобно обозначать все эти уравнения как Xj U ж 1, 2,..., M + /С). Существенное различие между ними с точки зрения гамильтонова формализма состоит В ТОМ, ЧТО фь В отличие ОТ xk фигурируют в общем уравнении движения (12).
