Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
При построении теории можно выбрать поверхность, которая не зависела бы от системы координат хЭтот выбор имеет то преимущество, что можно сохранить равноправие четырех координат ії*-. Однако он имеет недостаток, связанный с введением большего числа переменных, чем это необходимо для математической трактовки проблемы, в результате чего уравнения усложняются и становятся менее ясными. Более простая схема получается, если систему координат х^ выбрать таким образом, чтобы поверхности л?=Const были всегда пространственно-подобными, и затем рассматривать только состояния на этих поверхностях, используя координаты X19 X2r X3 как параметры, описывающие точки на этих поверхностях. При этом симметрия между четырьмя координатами х^1 полностью нарушается, однако получающиеся упрощения вполне оправдывают такую жертву.
Теория гравитации Эйнштейна уже была представлена в гамильтоновой форме с поверхностью, не зависящей от системы координат, Пирани и Шилдом [2], использовавшими нашу обобщенную процедуру в гамильтоновом формализме, а также Бергманом и др. [3], использовавшими иную процедуру. Эти работы являются неполными, так как в них не учитывались %-у равнения. В более поздней работе Пирани, Шилда и Скиннера [4] совершается переход к поверхности X0=C и вводятся %-уравнения.
Настоящая работа выходит за рамки предыдущих работ 8 том направлении, что некоторые степени свободы исклю- 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
141
чаются. В результате значительно упрощается гамильтониан. Для удобства статья изложена так, как будто она является независимой от предшествующих работ.
Обозначения
Пространственно-временные координаты обозначаются через х» (греческие индексы принимают значения 0, 1,2, 3). Для любой функции / координат х* будем писать (df/dx») = /ц. Индекс будет всегда означать дифференцирование такого рода, если символ без индекса имеет смысл.
Метрика задается выражением g^dx^dx*. Определитель метрического тензора отрицателен и обозначается через —У2. Символы Кристоффеля записываются в виде
T + g?im - Safr) = 1W^v = ^p.
Таким образом,
Приведем формулу
(2)
На поверхности X0 = Cj где с — некоторая постоянная, точка определяется координатами хг. (Малые латинские индексы принимают значения 1, 2, 3.) Метрика на этой поверхности задается выражением grsdxrdxs. Определитель тензора grs отрицателен и обозначается через — /С2. При этом имеем
gOOJ2=%2t (3)
Определим
jj,0 VO
= = JLJL-. (4)
Заметим, что равно нулю, если хотя бы один индекс [г или V равен нулю. Мы имеем
го 0
erso = eT^o g ?q .
& за ьца ьа ггоо 142
ff. Дирак
Поэтому
SsSsa = Sl (5)
и
ersg*o=-j^r- (6)
Соотношение (5) показывает, что матрица ers обратна матрице grs. Таким образом, ers является метрическим тензором, которым надо пользоваться для поднятия индексов у тензоров в трехмерном пространстве X0 = с. В соответствии с соотношением (1) мы имеем
X-=IeaW (7)
ф-уравнения
Лагранжиан имеет вид
L= ^ Zd3Xy
где d3x = dx1 dx2 dx3 и X — плотность действия. Для чисто гравитационного поля плотность действия в теории Эйнштейна имеет вид
" T yWapa {(rtV? - SlivSafi) gQO +
+ 2(g^a?_^ag?0)gva}. (8)
Чтобы теория описывала гравитационное поле, взаимодействующее с другими физическими объектами (например, с частицами материи, электромагнитным полем или полями другого типа), введем дополнительную плотность действия Хм, так что
X = XG+ Хм-
Для целей предлагаемой теории Хм может быть любой функцией g и любых дополнительных динамических переменных, необходимых для описания прочих физических объектов, но не должна, однако, содержать произ- 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
143
водных от g . (Это условие в действительности выполняется в случае частиц и электромагнитного поля.)
Величины g во всех точках поверхности X0 = с рассматриваются в качестве динамических переменных, описывающих гравитационное поле (они соответствуют переменным q в нашей предыдущей работе [1]). Тогда величины g Q во всех точках этой поверхности представляют собой
скорости (они соответствуют величинам q в [1]). Величи-ны g в любой точке поверхности определяются величинами g во всех точках поверхности и потому являются функциями только от динамических координат, будучи независимыми от скоростей. Теперь мы видим, что выражение (8) имеет вид
где X (2) — однородная квадратичная функция скоростей, X (1) — однородная линейная функция скоростей и Xg (0) не зависит от скоростей. Полагая в (8) q = ct = 0, получаем для X (2) следующее выражение:
і г / ^0Ua0 \ / <rvM° \
Jf (2) = -i-/or00or .о .Ai gji<*-g g V qv?-g g j-
C помощью (4) это выражение приводится к форме
Скорости g^00 здесь не появляются.
Чтобы определить импульсы P^xv, сопряженные С произведем произвольные малые вариации скоростей g 0 и представим соответствующую вариацию лагранжиана в виде
причем pw = рща. Обычные соотношения для скобок Пуассона от динамических переменных и сопряженных им
XG = X(2) + X(l) + XG(0),
