Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
«І,«и» (°) = I Д> [rL(0) + пт (0) гь (0)], (В. 10)
что совпадает с коэффициентом Biklm(O) в преобразовании (151). Таким образом, последнее преобразование приводит к локально нормальной системе второго порядка. Продолжая эти рассуждения, мы можем путем дальнейшего дифференцирования (В.7) и последующей подстановки X1 = 0 вывести выражения для значений производных еще более высокого порядка от величин a* в начале координат и таким образом определить коэффициенты при чле-2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 128
нах более высоких порядков в полиноме Р\п)(х) в уравнении (150), которое определяет преобразования к локально нормальным координатным системам произвольно высоких порядков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Goldberg J. N., Phys. Rev., Ill, 315 (1958).
2. Bergmann P. C., Phys. Rev., 112, 287 (1958).
3. E і n s t e і n A., Berlin. Ber., 1916, S. 167.
4. Tolman R. C., Phys. Rev., 35, 875 (1930).
5. von Freund Ph., Ann. Math., 40, 417 (1939).
6. Zatzkis H., Phys. Rev., 81, 1023 (1951).
7. Bergmann P. G., Phys. Rev., 75, 680 (1949).
8. Bergmann P. G., Schiller R., Phys. Rev., 89, 4
(1953).
9. G о 1 d b e r g J. N., Phys. Rev., 89, 263 (1953); 99, 1873 (1955).
10. Mo 11 er C., Ann. of Phys., 4, 347 (1958).
11. Moll er С., в сборнике «Max-Planck Festschrift», Berlin,
1958; статья 1 настоящего сборника.
12. Magnusson M., в сборнике «Max-Planck Festschrift», Ber-
lin, 1958.
13. Rosenfeld L., Acad. Roy. Belg. Memoires XVIII, Fase.
6 (1940).
14. B e 1 і n f a n t e F., Physica, 6, 887 (1939).
15. Bergmann P. G., Goldberg I., Janis A., New-
man E., Phys. Rev., 103, 807 (1956).
16. Bergmann P. G., Schiller R., Phys. Rev., 89, 4
(1953).
17. De Witt B. S., Rev. Mod. Phys., 29, 377 (1957).
18. D і г а с P. A. M., Proc. Roy. Soc., А246, 333 (1958); статья
4 настоящего сборника.
19. Komar A, Phys. Rev., ИЗ, 934 (1959).3. ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИКА В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ
П. Дирак
Р. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc., А 246, No. 1246, 326—332 (1958)
Предложенный автором метод перехода от лагранжиана к гамильтониану в случае, когда импульсы не являются независимыми функциями скоростей, представлен в более простой и более удобной для практических приложений форме. При этом основные результаты получены путем непосредственного решения уравнений при требовании непротиворечивости последних. Показано, каким образом, при определенных условиях, можно устранить некоторые степени свободы и тем самым существенно упростить гамильто-нов формализм.
Обычный метод перехода от лагранжевой формы уравнений движения к гамильтоновой форме требует, чтобы импульсы были независимыми функциями скоростей. Существуют важные в практическом отношении случаи, когда это условие не выполняется, что, например, имеет место в релятивистской теории поля, и возникает необходимость обобщить этот метод. Такого рода метод был предложен автором [1]. В настоящей работе этому методу придается более простая и удобная для практических приложений форма.
Другая трактовка этой задачи была предложена Андерсоном и Бергманом [2]. Их метод является менее общим, чем представленный здесь, так как он применим только в том случае, когда лагранжиан является квадратичной функцией скоростей. В предлагаемом же методе лагранжиан может быть любой функцией скоростей и координат и подчинен единственному ограничению, чтобы лаг-ранжевы уравнения не приводили к каким-либо противоречиям.3. Обобщенная динамика в гамильтоновой форме_129
(^-уравнения
Рассмотрим динамическую систему, которая описывается координатами qn (п = 1, 2, ..., N) и скоростями^,
с лагранжианом L = L(q, q). Определим импульсы обычным путем
dL . л ч
Pn = -. (1)
dQn
Может оказаться, что рп не будут независимыми функциями qn. Если среди рп имеется только N-M независимых функций qn, то будут иметь место M независимых соотношений
<Pm(?>P) = 0 (m = 1, 2, ..., М). (2)
При этом M может быть любым числом от О до N. Лагранжевы уравнения движения
d dL_ dL ,QV
^ (3)
определяют теперь N-M функций от ускорений qn и дают M уравнений только между координатами и скоростями. Может оказаться, что посредством дифференцирования по времени этих M уравнений (один или, возможно, несколько раз) мы сможем получить еще несколько независимых уравнений, содержащих ускорения. Если таких уравнений будет недостаточно, чтобы определить все ускорения, то общее решение этих уравнений движения, соответствующее заданным начальным значениям величин
Qn и Qm будет содержать некоторое число произвольных функций от времени.
Рассмотрим произвольные малые вариации бqn и bqn координат и скоростей. Они обусловят вариации брп, которые сохраняют соотношения (1). Эти вариации должны сохранять соотношения (2), являющиеся следствиями (1), так что
+ (4)
9 Заказ № 738130
ff. Дирак
Соотношения (4) будут единственными ограничениями, налагаемыми на вариации Spni при условии, что уравнения (2) записаны таким образом, что независимые вариации первого порядка величин рп и qn обусловливают вариации первого порядка функций фт. Мы имеем