Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
= (Xp-X0)1 F = ^(O), (140)
являющимися нормальными координатами по Риману. Они определяются однозначно, так как не меняются при линейных преобразованиях параметра X. Если точка P приближается к нулю, то линия, соединяющая 0 и Р, определяет в нуле бесконечно малый вектор с контравариант-
о.
ными компонентами dx1 и dx1 соответственно в двух коор-
о.
динатных системах. Очевидно, в точке 0 dx1 = dx\ т. е. alk (0) = б]* и компоненты любого тензора совпадают в этих двух системах в начале координат. Итак, например,
L (0) = gik (0), Riklm (0) = Riklm (0). (141)
Таким образом, однозначно определенная нормальная
о .
система X1 может быть связана с любой системой хг. Некотррое произвольное преобразование системы (Xі)—> —> (Xn)1 очевидно, индуцирует линейное преобразование
о . о .
(хг)—>(х'ь), сопоставленной ей нормальной системы. Нормальные системы координат в общем римановом пространстве предельно близки к прямолинейным системам в плоском пространстве. Из их определения следует, что всякая геодезическая, проходящая через начало координат,
8 Заказ № 738 10O
X. Мёллер
описывается линейным параметрическим представлением в нормальных координатах, т. е.
^i = Pi(X-X0), где ?l — константы. Таким образом,
о . о. о.
dx1 __ лі __ X1 d2xl __ ^
Чх ~ P " X=X0 ' "Str " '
и с помощью уравнений (139), записанных в нормальных координатах, получим
Tikl(X)1XkX1 = O (142)
во всех точках четырехмерного мира. Необходимым и достаточным условием того, чтобы координатная система была нормальной, являются уравнения (142) или эквивалентные им уравнения
Titkl(X)XkX1 = O. (143)
При последовательных операциях дифференцирования этих уравнений, как показано в приложении Б, могут быть получены следующие значения производных метрического тензора в начале координат:
Lll(O) = O, (144а)
L ,1.»(0) = glm ,І >fe (0) = - 4 [Xiimk (0) + RimlH (0)], (1446;
о
gik Л ,т ,n(0) =
= у [Я«*™ ;» (°) + Kirnkn ;1 (0) + RinkI ;т (0)], ( 144в)
где Riimk (0) — тензор кривизны Римана в точке 0. В малой окрестности точки 0 мы получим следующее приближенное выражение для gik(x):
gik (X) = gih (0) + у gih л ,„ (0) X1Xm +
+ gik,i,m,n (O)X1XmXn (145) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 115
е коэффициентами, заданными формулами (144). Линейные члены отсутствуют, так как, согласно (144а), нормальная система является частным случаем геодезической системы координат. Согласно (12), (13) и (144), вточке О находим
Пґ k _ ^ —g / ° _ ° \ „km Jn __
^i Yt \&іп ,т ,1 біт ,71 Л/б б
= 3^ [RimlnjT Rilmn Rinlm Rilnm) § 8 ~
(146)
Мы использовали здесь свойства симметрии тензора Римана и выражение для свернутого тензора кривизны. Сравнение выражения (146) с (10) и (134) дает
% __ R *k
Ii — — Ov
^x (147)
Її = 0
в начале нормальной системы координат.
Аналогичным образом, из (12), (13) и (144) в начале координат находим
° ь V Tt о °
C^ я _ г б / \ ^kmrrIn_
* ,r ~~ x Vgin ,m,l ,r~~ gim ,п ,1 ,г) g g ~
~ [Rinml Ir 4" RiImr \n~\~ Rirmn Л (148)
^imnl ',г —" ^iinr ;m — ^irnm ;l) ghmgln.
С учетом свойств симметрии тензора Римана и тождеств Бианки это выражение может быть записано в виде
__' 2JCIEjL(D ki о ik \
,г— -\j\il ;r Air
Далее,
D lk , — Dlk, __ nlk Dlk dft hft
Air ;l — A ir = — A W ;i — A /i ;r = Ar ;i — Ai
8* 116
X. Meллє о
Таким образом, в начале нормальной системы мы имеем - i^Ctf1T-Ttf1-O- (149)
В соответствии с соотношением (13'), правая часть уравнения (149) обращается в нуль вследствие свернутых тождеств Бианки, если положить г = k и просуммировать по индексу k.
§ 7. Локально нормальные координаты. Локально инерциальные системы в пустом пространстве
Рассмотренные в предыдущем параграфе нормальные
о.
координаты (Xг) однозначно определяются условиями (141) и (142). Однако обычно представляют интерес лишь системы координат, являющиеся локально нормальными, т. е. когда условие (142) лишь приближенно выполняется в малой окрестности начала координат. В этой связи можно ввести понятия локально нормальных систем первого, второго и третьего порядков, в зависимости от того, удовлетворяется ли одно, два или все три соотношения (144) соответственно. Очевидно, локально нормальная система первого порядка есть просто геодезическая система. Исходя из произвольной системы координат (х1), можно получить локально нормальную систему п-то порядка с помощью преобразования вида
Xi = Pi^(X)1 (150)
где Р\П) (х) — полином степени п + 1 относительно разностей координат X1-Xi с соответствующими коэффициентами. Здесь (Xі) обозначают координаты точки 0 в системе (Xі). Как показано в Приложении В, локально нормальные системы, например второго порядка, могут быть получены с помощью преобразования
Xi = Xi+-^ Tikl (0) (Xh - 4) -X10) + Biklm (0) X
X (Xk-Xk0)(X1-X1O)(Xm-X1Z), (151) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 117
где
?ftlm = [Tkl ,т + Tim ,ft + ГтЬ ,I + Гг&Г[т +
+ TriTmk + Trm Thl (152)
