Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Новейшие проблемы гравитации" -> 40

Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.

Иваненко Д. Новейшие проблемы гравитации — Москва, 1961. — 489 c.
Скачать (прямая ссылка): noveyshieproblemi1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 142 >> Следующая


Функции первого класса

Функция от qn и рп является, по определению, функцией первого класса, если все ее скобки Пуассона с H и Xj равны нулю. Для этих скобок Пуассона достаточно, чтобы они обращались в нуль слабо, т. е. при наличии соотношений (2) и (14). Функцию от qn и рп, которая не удовлетворяет этим условиям, будем называть функцией второго класса.

Теорема. Скобки Пуассона двух функций первого класса есть функция первого класса. Пусть X и Y являются функциями первого класса, так что

[X. Xil «* О, [Y, Х,1 * 0. Эти слабые уравнения означают, что

I*. Xjlsm xii'Xr* \y> %і) = УіПі'< 134

ff. Дирак

где Xjj' и ijjjf — надлежащие коэффициенты. Следовательно, [[X. П %,¦] = [[*, Xj]> Y]-[[Y, Xib Х\*>

Xjj' [х/'> У] - ун' ІХґ, X] о.

Приведенное доказательство остается справедливым, если заменить в нем Xj на откуда следует, что

[[X, У], Я] ^ 0.

Отсюда следует, что [X, У] — функция первого класса. Положим

И + VmVm = H'. (20)

Уравнения (17) показывают, что скобки Пуассона от Я' с любой функцией Xj обращаются в нуль слабо. Далее, умножая первое из уравнений (17) на Um^ находим

[Я', Н] Ъ Um' [фт', Я]

Таким образом, Я' — функция первого класса. Заметим, что Я' является гамильтонианом, который может быть получен из Я с помощью преобразования (7).

Всякая линейная комбинация функций ф, коэффициенты которой являются функциями qn и рПУ может рассматриваться как некоторое другое ф. Положим

VarnVm = Фа' (21)

Соотношения (18) показывают, что скобки Пуассона для фа с любой функцией Xj обращаются в нуль слабо. Мы видим, что, поскольку скобки Пуассона от фа и Я' обращаются в нуль, то скобки Пуассона от фа и Я также должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что фа — функция первого класса.

Общее уравнение движения (12) с учетом (19) принимает вид

g=lg, H'] + va[g, Фа]. (22)

Оно содержит теперь гамильтониан пепвого класса Я' и функции фа первого класса. Коэффициенты иа, связанные с этими ф-функциями первого класса, никак не ограничиваются уравнениями движения. Таким образом, каждый из них приводит к некоторой произвольной 3. Обобщенная динамика в гамилыпоновои форме_135

функции от времени в общем решении уравнений движения с заданными начальными условиями.

Каждая ф-функция первого класса имеет вид Umфт, где Um удовлетворяют уравнениям (17). Таким образом, в (22) должны входить все независимые ф-функции первого класса. Отсюда следует, что число произвольных функций времени в общем решении уравнений движения равно числу независимых ф-функций первого класса. Различные решения уравнений движения, полученные при различном выборе произвольных функций времени при данных начальных условиях, следует рассматривать как соответствующие одному и тому же физическому состоянию движения, описываемому различными способами путем разного выбора некоторых математических переменных, не имеющего значения с физической точки зрения (например, путем различного выбора калибровки в электродинамике или координатной системы в релятивистской механике).

В практических приложениях из инвариантных свойств интеграла действия обычно известно, какие произвольные функции времени имеются в общем решении уравнений движения. Это дает возможность видеть, какие из функций ф являются функциями первого класса, не прибегая к оценке всех скобок Пуассона для них. Любая переменная типа скорости, которая может быть изменена без влияния на физическое состояние, должна появляться в уравнении движения Гамильтона (22) в качестве коэффициента Va при некоторой ф-функции первого класса.

Уменьшение числа степеней свободы

Предположим, что некоторые из ф-функций первого класса содержат импульсы только линейным образом с числовыми коэффициентами. Хотя с математической точки зрения этот случай представляется весьма специальным, тем не менее он часто встречается в практических приложениях и потому очень важен.

Путем тривиальной замены переменных можно достичь того, чтобы эти ф-функции первого класса имели вид

Pr-fr ъ 0 (г-1, 2,..., Я), (23) 136

ff. Дирак

где /г — функция только переменных q. Условие для функций первого класса требует, чтобы скобки Пуассона величин рг —fr обращались в нуль слабо. Эти скобки Пуассона могут содержать только переменные q. Предположим, что не существует содержащих только переменные q\ тогда эти скобки Пуассона должны обращаться в нуль строго. Отсюда следует, что

f

Jr dqr '

где F — некоторая функция переменных q. Добавим теперь к лагранжиану L член

dF ЭР ' /смч

St=WJn, (24)

который не влияет на уравнения движения. Величины рг увеличатся на dF/dqr, так что ф-уравнения (23) примут вид

Pr ** 0- (25)

Будем продолжать рассмотрение с новым лагранжианом. Любую из функций Xv которые не содержатся в (25), мы обозначим через Хі (* = 2, ..., M+ К — R), причем Xi могут быть функциями либо первого, либо второго класса. Без ограничения общности можно предположить, что Xi не содержат переменных pr. Можно также предположить, что Hf не содержит рг, так как в противном случае с помощью преобразования (7) можно перейти к другому гамильтониану первого класса Hf, не содержащему pr.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 142 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed