Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
о. о
х\ gik, ... вместо xl,gik, ..., имеем
Titrs(X)XrXs = O. (Б.1)
Дифференцируя это уравнение дважды по Xk и х\ а затем по Xm1 получаем следующие два уравнения:
+ 2 [(Гі, kr),t + (Ti, lr),k] xr + 2TiM (X) = 0, (Б.2)
(^t, rs) ,к ,1 ,mW^ +2 [(Гі, тог) ,ft ,1 + (Tii ftr) ,m +
+ (Гі. lr),fc >m] -Kr+ 2 [(Гі, ftm),, + (Гі, lm) ,ft + (Ti, ftl),J = 0.
(Б.З)
Полагая в этих уравнениях х%=0, получаем значения ri>ftl и (Гіій1),от в начале координат:
Tilftl = O, (Б.4)
Aiklm== S (Г i,ft/),W = (Гі, fti),m +(Гі, lm),k + (^i, mk)u =1 0-
(klm)
(Б.5)
Здесь и в дальнейшем символ S перед той или иной
(klm)
величиной, содержащей индексы / и т, означает прибавление к ней двух членов, получаемых путем циклической перестановки этих индексов. 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 123
Аналогичным образом, дифференцируя (Б.З) по хп и затем полагая хг = 0, получаем в точке 0 соотношение
Ailmnk + Biklmn = О, (Б.6)
где
Aiimnk— S (Гі, im),n,ft»
(Imn)
^ikLmn = S i^i, kl),m ,п' (Imn)
(Б.7)
Уравнение (Б.4) эквивалентно уравнению
gik, I = 0; (Б.8)
это доказывает, что данная система является геодезической в нуле.
Символы Кристоффеля определяются соотношением
Гг, kl = у (gift, г + Su ,ft — gkl .і)- (Б-9)
Подстановка выражений для Titki в (Б.5) дает Aiklm S gift, і ,in 9 S g>a ,m ,г = 0>
(klm) z (klm)
что эквивалентно соотношению
з
ZAikim + Akiim = 3gi/t ,f ,m + у (git ,ft ,m +
+ gim ,ft Л ~~ glm ,i ,ft) == 0.
Отсюда вследствие симметрии л >m по индексам і и & имеем
gik ,1,m*= — (Гі, ImKft = — (rft, Im),і- (Б. 10)
Аналогичным образом, после перегруппировки членов для Aiimnk и Biklmn в (Б.7) получим
AiImnk= S gu,m,n,ft~~ о~ S gim,nA,\0 (Б-И)
(Jmn) .......... 2 (imnjy
и
З 1
Biklmn= ~2 gik J ,т ,п +"о" [gif ,m ,n ,ft ~~ ,т ,п ,ІІ- (Б-12)
(tmn) 10O
X. Мёллер
Ввиду симметрии по индексам і и k последнего члена в правой части (Б.И), а также первого члена в правой части (Б. 12) получим
^ihlmn BiiUmn S [gil ,т ,п tk 8kl,т.,1і ,il A (Imn)
= Ailmnk Aklmni- (Б. 13)
С другой стороны, из (Б.6) имеем
Biklmn = (AiimnIi ^fcirani)»
откуда следует, что эти разности должны быть равны нулю. Таким образом, из (Б. 12) и (Б.6) следует
-Ад =-Ла
8ik Л ,т ,71 ? Diklmn ? ^lHmnIii
8ik Л ,m ,71 = "з" (Jjjn) (Гі, im),n ,k — 2
= — "з" [(Гі, їт),п + (Гі, тп),ї + (Гі, nlXmlk- (Б*14)
В начале координат, где уравнения (Б. 4) и (Б.8) выполняются, тензор кривизны Римана Rikim и его производные можно записать в виде
Riklm — (Гі, kl),m Riklm ',п —Riklm ,п = kl),m ,n (^it km)Л ,n- 15) Отсюда на основании (Б.5) и (Б. 10) имеем
Rilmk + R'nnlk — 2 (Tit im)tk — (rif кі),т
—* (гг. mfXi= з (r{> im)tk
и
&ifc,l,ro= ~ з" (#ilrofc + Rimlk)- (Б. 16)
Аналогично из (Б. 15), (Б.6), (Б.7) и (Б. 14) находим S Rilkm >п = S [(Tit fcj)>w ,п — im),n J1] =
(Imn) (Imn)
= 2 S (Г,, гш))П ,Zi
(Imn) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 125
и
gik ,1 ,т ,11 ~ "з" (^n) Rilkm ;п = "3" [Rilkm ',п Rimkn H Rinkl »'ml*
(Б. 17)
Уравнения (Б.8), (Б. 16) и (Б. 17) и представляют собой в точности уравнения (144), использованные в § 6.
Приложение В
В этом Приложении мы рассмотрим преобразования, переводящие произвольную систему координат X1 в нор-
о.
мальную систему хг с началом в данной точке 0. Положим
Xi = P(X)1 а[=—и, а}
' v k d**' h'1 дхЧх^
і і , °ч ^Xi -І OtXi ' ' '
xl = gl(x), Ofc=-^7 , Ofcif=-S-J-, ...
dxk dxkdxl
a\alk = aliak = &k. (В.2)
С помощью (В.2) формулы преобразования символов Кристоффеля
fli^aliiJ^ajAW
можно записать в виде
«ft ,і + T1st (хт) afc a I = A (х). (В.З)
о о
Умножая это уравнение на х X11 получаем при использовании уравнения (143) следующие дифференциально-функ-
. о
циональные уравнения для функций gx (х):
+ = (В.4)
dxkdxl dxk дх1
Преобразование к нормальным координатам определяется четырьмя независимыми решениями уравнений (В.4), удовлетворяющими условиям
Si(O) = Xi, -?-(<>) = <?
dxk 126
X. Meллєf)
Если нас интересуют лишь локально нормальные систе-
O
мы, нет необходимости рассматривать значения gl (х) на больших расстояниях от точки 0. Исходя из обращенного соотношения (В.З), т. е.
ч ,*(*)+и* & «г W «к*)=(X) г Tkl (X) (в.5)
о
и вспоминая равенства а* (0) = 6* и Г*г (0) = 0, в точке 0 получаем
at ,1(0) = Ti1(O)f (В.6)
что, с точностью до множителя 2 совпадает с коэффициентом при квадратичном члене в преобразовании (151). Если теперь продифференцировать (В.5) по Xmf то получим
<4 ,/ >m W + h ,г (*) «<*{ + hi (*) К |W|a{ + aja{ >m) =
= aU1W+ aF rklim(x). (B.7)
Это дает в точке 0
< ,, >ж (0) + °ГЬ ,т (0) = >т (0) гь (0) + Г«, >т (0). (В.8)
Тогда ввиду симметрии величин а* г т по индексам k, / и т, на основании (В.6) и уравнения
П, .«(<»+Т\т,к (0)+^,,(0) = О, (В.9)
справедлив го в локально нормальной системе [см. (1446) и (Б. 5)], получим
