Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
14.6. Падение плоской волны на слой, содержащий рассеиватели, — «полная интенсивность»
В данном разделе мы рассмотрим полную интенсивность в случае падения на слой плоской волны. Решение этой задачи оказывается далеко не простым. В теории переноса соответствующее решение подробно обсуждалось в гл. 11 с помощью методики, основанной на квадратурной формуле Гаусса. Точное решение интегральных уравнений Тверского (14.28) и (14.29) в литературе до сих пор не описано. Однако Тверской предложил приближенное решение этой задачи, которое оказалось хорошо согласующимся с экспериментальными данными. Мы рассмотрим это решение в данном разделе. Следует подчеркнуть, однако, что, хотя решение уравнения (14.42) дает хорошее приближение для когерентного поля в большинстве практических ситуаций, описать столь же просто полную интенсивность не удается.
Рассмотрим полную интенсивность (|фа|2), определяемую выражением (14.20). Эта величина удовлетворяет интегральным уравнениям Тверского (14.28) и (14.29):
< І Фа I2) = I <^а> 1“ + $ I |2 < IV I2) Р (г.) drs, (14.47) о; = К + $ utvlР(r<)drt. (14.48)
Теория многократного рассеяния волн
21
Полезные численные решения (14.47) и (14.48) рассматриваемых в качестве основных уравнений трудно получить без использования некоторых приближений.
Заметим прежде всего, что, хотя представляет собой оператор, мы можем получить приближенное представление этой величины следующим образом. Предположим, что в (14.48) концентрация р(п) постоянна, а и“ дается приближением дальнего поля
; (14.49)
где і at — единичный вектор в направлении г а — П, a hs — единичный вектор в направлении гt — rs (рис. 14.11). Аналогичное представление имеет вид
= exp^X\Td' (14-50)
где 0 — единичный вектор в направлении га — rs> a is — единичный вектор в направлении распространения полной интенсивности (Іг)/!2)1).
Представим теперь величину и* q из (14.48) в виде
vi
'¦ U%S’
Рис. 14.11. Ориентация векто-(14.51) ров та, и rs из (14.49).
где lts — некоторая неизвестная функция. Тогда (14.48) примет вид
d ОО 00
u$as=zua,+ \dzt\ dxt\ О4-52)
О — оо — оо
Интеграл в (14.52) можно оценить с помощью метода стационарной фазы (приложение 14Б, пример II):
ОО оо
\ dxt S dtJtu<tu%ts ~
— ОО —оо
- \ dx, ] <W(U r„)f (f,„ * ~
Г,Г2
4л/
f (0, 0) f (0, is) exp (ik I ra — rs I) —----------------------------------|(g,
k I Та — TS I (0 • \z)
(14.53)
где zs<zt< za.
*) Более полное описание is дается в следующем разделе.
22
Глава 14
Здесь Г\ = | Г/ — rs | , Г2 — | Га — Г/1, Э gfs береТСЯ В ТОЧКЄ СТЭЦИО’ нарной фазы. Пренебрежем теперь вкладами от областей zt <С zs и za < zt. Тогда (14.52) примет вид
las= 1 + 2lf l%°) P J lts dzt. (14.54)
k (0 • \z) J
Отсюда видно, что есть функция от Zt и zs, и мы получаем решение
?а8 = ехРІ>'ДаДга — Zs)], (14.55)
где
д 2яр/ (0, 0) Q ^ -Ї
~~ к cos 0fls ’ ГДе C0S as ~ 0 ' ,2'
Используя (14.51) и (14.56), находим
v;=/( о, у . < 14.56)
где К = k + [2яр/(0, 0)]/k. Из выражения (14.56) видно, что
имеет точно такой же вид, как но вместо постоянной k в выражение для vas входит постоянная К. Это объясняется тем, что описывает распространение излучения от s к а в свободном пространстве, тогда как vas учитывает влияние многократного рассеяния.
Используем теперь (14.47) для нахождения полной интенсивности (|^а|2> внутри слоя 0 < za < d. Заметим прежде всего, что
I ра р = [ / (б, д [2 .ехр Р К ^^*1=r* 1I, (14.57)
поэтому (14.47) принимает вид
ОО ОО d
( Ua I2) = 1(фа) f + 5 dx* Jj (14.58)
- oo — oo
Заметим также, что для za > zs, xs = (za — Zs) tg 0S cos <f>s
ys = (Za — Zs) tg 0s sin <ps, И, ИСПОЛЬЗуЯ равенства dxs dys =3 = r2 sec 0's dQ, dQ = sin 0S dQs d4>s, получим
oo oo л/2 2л
jj dxs 5 dys =\d% \ d<t>sr2 = 5 r2 -4^- при za > Zs,
-to — oo 0 0 2n
(14.59)
Теория многократного рассеяния волн
23
где г = |га — rs| (рис. 14.12). Поскольку обратное рассеяние предполагается малым, пренебрежем в интеграле областью za <С <С zs. В результате получим
га
(\V\2) = \(V)? + P 5^5 dzs\f(0, gp<l^|2)sec0sX
2я О
Хехр[—p(as+ оа) (za — zs) sec 0J. (14.60)
Заметим, что для случая плоской волны единичный вектор is на-
Рис. 14.12. Геометрия углов 0S и <PS для случая (14.59).
правления распространения полной интенсивности <|i|)s|2> параллелен оси z '):
l = i2. (14.61)
Будем считать далее, что рассеяние концентрируется главным
образом вблизи направления вперед, так что
0S — малый угол, и sec 04 1. (14.62)
Заметим также, что, поскольку обратное рассеяние мало,
\dQs\f (6, У |2 - \dQs\f (6, У Р = (14.63)
2Л 4л
При этих условиях получаем
га
<1 V Р) = I <фа) Р + P<TS $ < I ? Р) ехр [— р (as + оа) (za — zs)\ dzs,
(14.64)
где когерентная интенсивность |<г|за>|2 дается выражением _ |<ij3a)p = exp[— p(crs + oa)za\. (14.65)
*) В действительности равенство (14.61) является приближенным. Более строгое обсуждение см. в следующем разделе.
24
Глава 14
Уравнение (14.64) можно решить точно, что дает
(1фа Р) = ехр(— poaza) при 0 <za<d. (14.66)
Эта величина выражает полную интенсивность внутри слоя, которая зависит только от сечения поглощения оа и не зависит от сечения рассеяния as. В частности, в случае непоглощающих рассеивателей сечение оа равно нулю, и полная интенсивность постоянна внутри слоя. Этого и следовало ожидать, поскольку если пренебречь обратным рассеянием, то полная мощность должна сохраняться.
