Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
/ = А(гі + г2), jlr = k(-x- (Х~х)
д! и ( У (У-У)
дг К W, г2
х,У
. г і
г 2
-)=°.
-) = 0,
Рис. 14Б.1. Стационарные точки Sb S2 и S3 для (14Б.13). что дает (рис. 14Б.1)
Xs
Уз
Заметим, что а2/ <?*2 d2f ду2 d2f
ris + r2s
= k\ -BL- U-X) (y-Y)-1 _
L rf r2 \
дх dy
В стационарной точке получаем
й.
„2
а2/ «з2/
ад:-'
А-С-^У-^ґ—+—ЇГ, —^^•'1-
ду \дхду) ^rIs r2sJ \ r\ )
d2f дх ду
k2
Ц=(^ + г„у-^+У^).
Теория многократного рассеяния волн
45
Таким образом, получаем
/«Л (х„ ys)™?[ik^ + r^l .
v S. иs/ risrjs (kzs/rlsr2s)
= А (**> Уз) exp [Ik (ru + r2s)] -Jg- • (14Б. 14)
При 0 < г < Z имеем Zs = Z, при г < О Zs = Z + 2\z\, при z > Z Zs — 2z — Z.
Приложение 14В. Оптическая теорема
Рассмотрим плоскую волну единичной амплитуды фг, падающую на рассеиватель с относительной диэлектрической проницаемостью е(г). В общем случае (при наличии поглощения)
є(г) —комплексная функция. Падающая волна
г|5/ (г) = ехр (гДгі ¦ г), (14В.1)
где і — единичный вектор в направлении распространения, a k =
— 2л/Х — волновое число в свободном пространстве.
Полнее поле'г|з(г) удовлетворяет волновому уравнению
[V2 + &2е (г)] -ф (г) = 0. (14В.2)
Прежде всего запишем это уравнение в виде [V2 + = — k2 (е — 1) "ф
и перейдем к интегральному уравнению для
¦ф (г) — 'Фг (г) + \ ^у;іггт,г/|) k2(s-l)y(r')dV'. (14В.3)
V
Рассеянное поле «(г) дается выражением
и (Г) = S k2 (є - 1) 4 (г') dV',
V
которое при больших расстояниях от рассеивателя принимает вид
иа к .-¦>!)_/(6, Т), (14В.4)
1Га rs I
где амплитуда рассеяния /(0, і) равна
f (0. Т) = \ ехР (— ik® • г') 'Ф {r')dVf.
v
46
Глава 14
Получим сначала выражение для амплитуды рассеяния вперед /(1, і). С этой целью воспользуемся формулой Грина
— v^v^dV = \j — ^-)dS. (14В.5)
V s
Выберем поверхность S, охватывающую рассеиватель, и положим vi — i|)*, v2 = г|). Тогда получим
- (14В.6)
V &
Но, поскольку г()* = ехр(—ik і - г), левая часть (14В.6) с учетом (14В.4) равна
LiHi = 4я/ (Г, Г). (14В.7)
Поэтому ’)
. - ~ Г Г . ди дф* "I
— 4л Im f (і, і) = J Im [ф, -gjj- — и -^-J dS. (14B.8)
s
Определим теперь сечение поглощения Ста. Эта величина равна полной поглощенной рассеивателем мощности при падающей волне единичной интенсивности. Определим поток мощности Р:
Р — Re (ijyVty/ik) = Im (г(>*^Ч[)/&). (14В.9)
Сечение поглощения записывается в виде
ста = - j Im ( -^-^/an-) dS, (14В. 10)
s
где д/дп — производная по внешней нормали, а 5 — поверхность, охватывающая рассеиватель. При этом 5 не обязательно совпадает с поверхностью рассеивателя и может быть выбрана на большом расстоянии от него.
С другой стороны, сечение рассеяния as дается выражением
о.= j Im ( и* dukldn ) dS, (14В. 11а)
S
которое с учетом (14В.4) можно записать в виде
as= \\f(0,l)fdQ, (14В.116)
4я
') Заметим, что ф = т|)г + ы, и, полагая в (14В.5) = о2=^, имеем
f ( .. д$і , ^ '
К’1’' ~ ~дГ) =
Теория многократного рассеяния волн
47
где Q — телесный угол (dfi == sin QdQd<j>). Но из (14В.10) следует
<14ВЛ2а>
S
причем
ф* - *-Ііг = № + и*)жО. +и) - + «*)•
Поэтому
1 с Г (\ *ди ^ ^
S
= - 7 \ { ,т h 1г ¦- ¦“ Ж ] + 1т (“* Э } ds- <14ВЛ2б>
S
Подставляя (14В.8) и (14В.11а) в (14В.126), получаем aa=~lmf (і, ї) — os, что завершает доказательство оптической теоремы:
Теория многократного рассеяния волн и распространение импульсов в облаке случайных рассеивателей
В гл. 4—б мы рассмотрели характеристики случайных волн и распространение импульсов для специального случая «разреженных» распределений рассеивателей. При этом, поскольку концентрация частиц предполагалась малой, можно было использовать приближение однократного рассеяния или незначительную его модификацию (первый порядок теории многократного рассеяния). В гл. 7—13 мы имели дело с более общей ситуацией, когда приближение однократного рассеяния оказывается несправедливым, и использовали при этом теорию переноса.
В гл. 14 рассмотрена теория многократного рассеяния и выведены основные уравнения для корреляционных функций как в случае неподвижных, так и в случае движущихся рассеивателей. Основываясь на изложенной в гл. 14 теории многократного рассеяния, мы можем теперь более детально остановиться на флук-туационных характеристиках волн и описании распространения импульсов в случае сильных флуктуаций.
В данной главе мы прежде всего приведем основные уравнения. Затем мы обсудим корреляционную функцию, угловой спектр и частотный спектр для случая, когда размеры частиц сравнимы с длиной волны или больше ее, дадим общие решения и рассмотрим в качестве примера падение плоской волны. После этого будут рассмотрены ограничения, налагаемые на разрешение изображения при наличии случайных рассеивателей. Наконец, мы проанализируем обратное рассеяние и распространение импульсов в областях с сильными флуктуациями и опишем полезные универсальные характеристики распространяющихся импульсов.
15.1. Основные уравнения
для случая движущихся рассеивателей
Приведем еще раз основные уравнения для функции взаимной когерентности Г поля г|)(г, t) в случае хаотически распределенных рассеивателей. Как видно из (14.104) и (14.108), второй момент поля (функция взаимной когерентности) связан с лучевой интенсивностью / посредством преобразования Фурье:
