Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
14.9. Основные уравнения для движущихся частиц
В предыдущих главах мы считали, что частицы неподвижны, поэтому поле ф(г) зависело только от положения г. В данном -разделе мы допустим, что частицы движутся, и рассмотрим связанные с этим эффекты [183]. При этом поле ф становится функ-'цией положения и времени. Мы получим основное интегральное уравнение для этого случая, а также приближенное уравнение, имеющее вид уравнения переноса.
32
Глава 14
Для описания эффектов, связанных с движением частиц, необходимо пересмотреть понятие статистического усреднения, описанное в разд. 14.2. Рассмотрим две случайные функции fs(r's, t' и gs(r", /"), которые зависят от характеристик частицы, движущейся со скоростью V и находящейся в точке г" в момент времени t" и в точке г' в более поздний момент времени /' соответственно (рис. 14.18).
Рис. 14.18. Частица, движущаяся со скоростью V от точки rs в момент вре-// / / мени ts к точке rs в момент времени ts.
Следуя методике, описанной в разд. 14.2, среднее значение fsgs можно записать как
</,«. о*, (с о>=S /,«. о*. (С о-г*, 04-97)
при условии, что г' и г" связаны соотношением
= (14.98)
a rs= y (г' + г"). При этом мы считаем, что скорость частицы
V постоянная в течение интервала времени /' —
Соотношения (14.97) и (14.98) можно представить в более удобной форме
= S S (К’ Q Ss (К. О Р («V Q б (Tsd - \tsd) drs drsd, (14.99)
где rid = r;-r", tsd = t's-t", a p(rs, ts) - значение концентрации P В точке rs= 7j-(r'+ г") В момент времени ts = 7Г (Й + &')•
В (14.99) среднее от произведения двух рядов сводится к одному ряду, поскольку корреляция между частицами не учитывается, и
Теория многократного рассеяния волн
33
имеется /V, а не N2 независимых частиц. Заметим, что (14.99) эквивалентно записи
N
? fs (К’ Q = S fs Q р (г*- Q К*
s=1
V
E«.(CC) = Sa(CC)p(CCX
5=1
и использованию соотношения
<р (г;, Q Р (г", /")> = Р (rs, Q 6 (rsd - Vt3d). (14.1006)
Учитывая все эти соотношения, запишем интегральное уравнение Тверского (14.28) в виде
(фУ *) = (г|)а) (г|)Ь *) + $ $ Vs'Vbs* {\ i>s Г) p (rs, ts) X
X&(rsd-Vtsd)dTsdTsd, (14.101)
где г|)а =- ф(Га, ta) есть поле В точке Га В МОМЄНТ времени ta, Э •ф* = г|)(г&, tb). Индексы s' и s" обозначают две точки г* и rj, которые одиночная движущаяся частица занимает в моменты времени^ и При этом с учетом времени распространения волны под t's и t"s нужно понимать запаздывающие моменты времени:
t's = ta- t'' = tb - 1Г*~Гд ' , (14.102)
V р Up
где vp — фазовая скорость волны в среде, равная а/Кг-Запишем (14.101) более подробно:
<г|,У *) = (г|)а) *) + rfab, (14.103а)
г exp (іК І г. — г' І — ІК* І rh — r" I )
Г fab = \ P dvs drsdb (rsd - V/J a----4,------s^ x
J I ra - Ч I 4 - rs I
X ^ da'f{sa, s')f (s6, s')I(ts, s', ts, tsd)exp(iKrs' ¦ rsd), (14.1036)
где использованы обозначения rd = га — rb, td = ta — tb и
І + tb) (рис. 14.19).
Лучевая интенсивность в (14.103) меняется со временем и связана с вторым моментом поля соотношением
(Л6*) *= (Ф (ra, ta) ¦ф* (тЬ, tb)) = 5 1 (r> S, t, td) exp (tKrs • rd) da, (т|за) (т|зь *) = ^ Ic (f, s, t, td) exp (iKrs ¦ rd) da. (14.104a)
34
Глава 14
Второй момент поля <i])ai])b*> называют также функцией взаимной когерентности
Г(Г„, (а; ть, 4) = (Ф (га. /в)Ч>*(«б. 4)>- (14.1046)
Время t, запаздывающее время ts, разностное время td в точке наблюдения и разностное время tSd движения частицы s на протяжении rsd связаны соотношениями
/, = /- -Г- rsd~ Vtsd> (14.105а)
vp
^ = ^(V-s)4d. (14.1056)
Уравнения (14.103а) и (14.1036) являются основными интегральными уравнениями для случая движущихся частиц.
Рис. 14.19. Обозначения, используемые в (14.1036).
Уравнение (14.1036) можно еще более упростить, использо-вав приближения
Ira-^|~ |r-rs| + Y(rd~r^)-s. (14.106а)
К~ГЛ ~ lr”rJ-Y(rd-r**)-s> (14.1066)
tsd~td- (14.106b)
Приближения (14.1Оба) и (14.1066) эквивалентны приближениям (14.91), а (14.106b) справедливо при условии, что скорость частицы | V | много меньше скорости распространения волны vPi поскольку td по порядку величины равно времени корреляции, а |rd| имеет порядок произведения IVI на время корреляции [см, (14.1056)].
Теория многократного рассеяния волн
35
С учетом этих приближений выражение (14.1036) принимает
вид
Применяя метод, использованный при выводе (14.94), получим следующее уравнение переноса для меняющейся со временем лучевой интенсивности:
F (s, s', (d) = I / (s~, ?') F exp [- iKr (s - s') • Vtd\. (14.1086)
Выражения (14.108a) и (14.1086) задают уравнение переноса для случая частиц, движущихся со скоростью V. Заметим, что в этом случае функция рассеяния |/(s, s') |2 заменяется на
(14.1086).
Если скорость V равна сумме средней скорости U и флуктуа-ционной скорости Vf, то в (14.1086) необходимо произвести усреднение по Vf. Разумно считать, что, поскольку лучевая интенсивность I зависит от вкладов всех частиц рассеивающей среды, она почти не зависит от флуктуационной скорости Vf. Приняв это предположение и полагая V — U + Vf, получим
где х — характеристическая функция [87], определяемая выражением
