Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
затухает так же, как и ослабленная падающая интенсивность,
мы можем записать (14.78) в виде
и (г J - и„ (г,) + S dr, ¦ЄіИ-|^1г;,7,г‘І) X
x\-^~p(s, s')/(rs,s')dco'. (14.86)
Это выражение совпадает с выражением (7.41), полученным по теории переноса. Заметим, что основой этой эквивалентности служат приближения (14.80) и (14.81).
Соотношение (14.81) связывает лучевую интенсивность /(г, s) с функцией взаимной когерентности Г(га, г*) — Сф(га)г|)*(гй)>. Заметим, что в теории переноса понятие лучевой интенсивности вводится эвристически для описания величины и направления распространения мощности, а не волновых характеристик поля. Однако соотношение (14.81) показывает, что лучевая интенсивность описывает также и волновые характеристики поля посредством функции взаимной когерентности. Таким образом, соотношение (14.81) устанавливает важную связь между теорией переноса и теорией многократного рассеяния. Отметим также, что соотношение (14.81) является лишь приближенным и, строго говоря, оно не совместимо с волновым уравнением (см. также другие работы, посвященные связи между теорией переноса и теорией многократного рассеяния [12, 149, 381]).
14.8. Приближенные интегральные
и дифференциальные уравнения для корреляционной функции
В разд. 14.4 мы привели интегральные уравнения (14.28) и (14.29) для второго момента <грагр**Х Используем теперь рассмотренные в предыдущем разделе предположения для получения приближенных представлений этих интегральных уравнений. Воспользовавшись соотношениями (14.80) и (14.81), непосредственно получаем,
V *) = ($“) ($” *) + Г fab, (14.87а)
Теория многократного рассеяния волн
29
где
X / (se, s') f (Sb, s') /' (rs, s^), (14.876)
a sa и sь — единичные векторы в направлениях ra—rs и гь— rs соответственно (рис. 14.16). Лучевая интенсивность /(rs, s') свя-
Уравнение (14.87а) представляет собой основное интегральное уравнение для второго момента <'фа'фй*> и эквивалентно сглаженному приближению первого порядка для уравнения Бете — Солпитера [142, 183].
Уравнение (14.87а) можно преобразовать в приближенное дифференциальное уравнение и показать, что это дифференциальное уравнение совпадает с уравнением переноса (7.24). Для этого поступим следующим образом. Используя суммарные и
разностные координаты г = у (га + г4) и rd = га — гь, запишем
[см. (10.81)]
(W*) = rab(r, rd) = jj / (г, s) exp (iKrs ¦ rd) da, (14.89)
где Кг — действительная часть К¦ Определим также когерентную интенсивность 1С с помощью соотношения
I(h
Рис. 14.16. Величины, входящие в выражение (14.876).
зана с полной интенсивностью <|i|)s|2> соотношением
<l^s|2>= jj / (rs, s') dm'.
(14.88)
<^a) (V”) = \ /c(r. s) exp (iKrs • Td) da. (14.90)
зо
Глава 14
Предположим, что в (14.876) фазу и амплитуду можно аппроксимировать с помощью выражений
/C|ra-rs|-/C|r-rs! + (/C/2)rd.i,
ATI rb — rs I К (г — rs I — (/C/2) rd ¦ s, (14.91a)
1 1 (14.916)
И ПОЛОЖИМ Sfl Яі S, Sb ~ s, где
s = y (sa + sb). (14.91b)
Эти приближения справедливы, если |rd| много меньше расстояний | га — rs| и | гь — rs|. Поскольку величина |г<*| ограничивается в основном размером радиуса корреляции поля, эти предположения оправдываются почти для всех точек среды, за исключением малого объема вблизи точки наблюдения.
Используя приближения (14.91), получим
f ^p(iKrs-rd-pat |r-г,|)
fab= ) pars-------TT^TTp------:--x
X\dv'\f(s, s')ri(Ts, s'), (14.92)
Рис* 14.17. Величины, входящие где Кг — 4- (К + К*) И pcrf = 2 ІГТ1 К— в выражение (14.93). .
= г‘(/с-Г).
Теперь мы можем получить дифференциальное уравнение, используя равенство drs = |r — rs|2d<a ds, где ds — элемент длины в точке г* в направлении г — rs [см. (7.41)]:
/ (г, s) exp (iKrs • rd) = lc (r, s) exp (iKrs • rd) -f
Г
-f exp{iKrs • Td) ^ pc/sexp(—paf |r — r5 |)X
Го
x \da'\f(s, S')l2/(rs> s'), (14.93)
где r0 и ds — точка на границе объема и дифференциал длины в точке rs соответственно (рис. 14.17). Сократив в (14.93) общий
Теория многократного рассеяния волн
31
множитель exp (iKrS-Ta), получим уравнение переноса
JL / (г, s) = — рatI (г, s) + jj р (s, s') I (г, s')do>', (14.94а)
где (Ot/4n)p(s, s') = If(s, s') I2, a /c(r, s) совпадает с ослабленной падающей интенсивностью и удовлетворяет уравнению
s) = — potIc(r, s). (14.946)
Таким образом, в данном разделе мы показали, что уравнения Тверского для многократного рассеяния при некоторых предположениях оказываются эквивалентными уравнению переноса. Заметим, что если найти выражение для лучевой интенсивности /(г, s), решив уравнение переноса для какой-либо задачи, то второй момент поля Г (г, rd) можно получить с помощью преобразования
Г (г, rd) = (tV *) = ^ / (г, ~s) exp (iKrS ‘Td)da. (14.95)
Заметим также, что полная интенсивность Ut(г) в точке г есть сумма когерентной интенсивности Uс (г) и некогерентной интенсивности Ui(г), причем эти величины связаны с лучевыми интенсивностями следующим образом:
^(г) = (1Ф(г)|2)= 5/(г, s)Aо,
4л
и с (Г) = | <ф (г)) |2 = 5 /с (Г, s)Ло, (14.96)
4я
и і (Г) = (I % (г) Р)= ^ Id (г, s) da>.
4л
Эти величины в 4я раз больше средней интенсивности, когерентной интенсивности и диффузной интенсивности соответственно, определенных в разд. 7.4.
