Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
X [- Кг (s - s~') tdI = (exp [- ІКГ (I - s') • Vftd]). (14.108г)
Соотношения (14.108a) и (14.108в) дают основное уравнение переноса для случая, когда скорость движения частиц содержит среднюю и флуктуационную компоненты.
Например, если флуктуационная скорость Vf считается гауссовой с функцией распределения вероятности
где от2 — дисперсия Vf, то характеристическая функция принимает вид
% (— Кг (s — s') id) = exp [—^ (K2r | s — s' P or2/^,)]. (14.1096)
exp (iKrs • Td - iKr (s - s') • \tsd - pqf I г - rj)
X
X\da']f (s, ?) p I (ts, s', t„ tsd). (14.107)
dl (r, s, t, td)
= — pcx,/(r, s, t, td) +
+ J pF(s, s', td) I (r, s', t, td)d(Si', (14.108a)
ds
где
F(s, s', (d) = \f(s, s')f%[-Kr(s-s')td]X ^
X exp [— iKr (s — s') • \ilj\, (14.108b)
р(1//) = (2яа2)-72ехр(- V2f/2al), (14.109a)
Глава 14
До сих пор мы обсуждали уравнения для зависящих от времени функции взаимной когерентности <г|)(га, /а)г]?*(гь> /ь)> и лучевой интенсивности /(г, s, /, td)- Они описывают корреляцию во времени посредством разностного времени td- Если осуществить преобразование Фурье по td, мы получим частотный спектр. Поэтому введем следующие определения для частотного спектра U7(r, t, Q) и частотного спектра лучевой интенсивности W7/ (г, s,
ЛЯ):
оо
W (г, i, Q) = 2 (ф(г, /0)V(r, tb))^p(iQld)dtd, (14.110а)
— ОО
оо
W^t, s, t, Q) = 2 / (г, s, t, td)exp{iQtd)dtd, (14.1106)
— оо
где Q — частота, a W и Wі связаны соотношением
W{г, (,!))= J Wj(г, s, t, Q)rfa>. (14.111)
4л
Заметим, что, хотя W и Wi в общем случае являются функциями времени t, для большинства практических случаев, в которых флуктуации поля стационарны, W и W/ не зависят от времени.
Уравнение переноса (14.108а) можно преобразовать в уравнение для частотного спектра, имеющее вид
оо
s, Q) = -por^y(r, s, 0) + ^- J dQ'X
— оо
X[JpG(s, s', Q — Q.')Wl (r, І, Q')rfa)'], (14.112a)
где
oo
G(s, s', Q) = 2 ^(s, s', id)exp(iQ.td) dtd. (14.1126)
— oo
Если скорость однородна и не флуктуирует, то, полагая в
(14.1086) V = U, из (14.112а) и (14.1126) получим
г, s, Я) =— pcrtU^’ у (г, s, Q) +
+ $p|/(s, s')Pry(r, S', Q')dco', (14.113)
где Q' = ?2 — Kr(s — s')-U, что соответствует доплеровскому сдвигу частоты от Q' к Q. При этом волна с частотой й' падает на частицу в направлении s', а рассеянная в направлении s волна имеет частоту Q. Амплитуда рассеяния f(s, s) описывает
Теория многократного рассеяния волн
37
волну, рассеянную в направлении s на частоте Q, когда падающая волна имеет частоту Q' и направление s', поэтому, строго говоря, следовало бы записать f как f(s,Q, s', Q').
Аналогичное уравнение можно записать и для случая, когда скорость V состоит из среднего значения U и флуктуационной составляющей V;. В этом случае имеем
Это выражение описывает доплеровский сдвиг, связанный с U, и уширение спектра, обусловленное флуктуациями скорости.
Заметим, что, хотя уравнение (14.112а) позволяет непосредственно найти Wi, часто более удобным оказывается сначала найти уравнение для зависящей от времени лучевой интенсивности или функции взаимной когерентности, а потом получить частотный спектр с помощью преобразования Фурье (14.110а) или
В данном разделе мы показали, что для случая движущихся частиц уравнение переноса можно модифицировать, используя амплитуду рассеяния с учетом временной корреляции (14.108в) в уравнении переноса (14.108а). Заметим, что амплитуда рассеяния с учетом временной корреляции (14.108в) совпадает с (4.48) из разд. 4.5, где нужно положить s = 0, s' = і, td = т и Кг = k. Этого и следовало ожидать, поскольку оба выражения относятся к одному и тому же случаю движущихся рассеивателей. Фактически уравнение переноса (14.108а) можно вывести, просто рассмотрев это соответствие. Однако вывод, приведенный в данном разделе, является более строгим и позволяет выявить необходимые аппроксимации.
14.10. Флуктуации, обусловленные распределением по размерам
В предыдущем разделе мы предполагали, что все частицы в среде имеют одинаковые размеры. Практически, однако, частицы часто бывают неодинаковы по размерам, которые оказываются распределенными в некотором интервале. Определим функцию распределения вероятности W(D) того, что размер частицы заключен между D и D + dD:
G (s, s', Q) —
[Q-Kr (s — s1-) • U]2 2*2 I?- s' 1*02
I'
(14.114)
(14.1106).
oo
W(D) = 112Li где f W(D)dD= 1; (14.115)
P J
38
Глава 14
здесь n{D)dD — число частиц в единице объема, имеющих размеры между D и D + dD, ар — полное число частиц в единице объема, т. е. концентрация частиц:
оо
р = \jn(D)dD. (14.116)
о
Используя эти определения, мы можем обобщить выражение для лучевой интенсивности, полученное для частиц с фиксированной концентрацией р и размером D, на случай частиц, распределенных по размерам. Среднее значение величины f(D), зависящей от размера D, записывается в виде
оо
(f(D))s=\ f(D)W(D)dD. (14.117)
о
Рассмотрим, например, затухание ослабленной падающей интенсивности
ігі — /0ехр (— pcT/L), (14.118)
полученное для частиц с фиксированным размером D и концентрацией р. Среднее значение постоянной затухания per* с учетом распределения по размерам дается выражением
