Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Г(г„, (а; гр, /*) = <ч> (гв. *»)> =
= Ї /(г, s, (, (d)exp(iKrs • r4)d(0. (15.1)
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 49
Зависящая от времени лучевая интенсивность удовлетворяет уравнению
dl (г, s. t, t.)
dl-----= — s, t, id) +
+ ^ pF(s, s', id)I(r, s, i, td)da', (15.2)
F (s, s', id) = I / (s', s'') I2 % [— Kr (s — s') td] X
X exp [— iKr (s — s') • Mtd], (15.3)
где г|)(г, t) —поле в точке г в момент времени t, Г — функция взаимной когерентности, I — зависящая от времени лучевая интенсивность, Кг — действительная часть комплексного волнового числа К = k + [2n/(s, s)p]/?, р — концентрация частиц, /(s, s')—амплитуда рассеяния, % — характеристическая функция флуктуаций скорости частиц, a U — средняя скорость частиц. Уравнение (15.2) совпадает с уравнением переноса, если не считать того, что амплитуда рассеяния (15.3) зависит от времени. Поэтому рассмотренные в предыдущих главах решения можно непосредственно использовать для получения зависящей от времени лучевой интенсивности / (г, s, t, td). Если лучевая интенсивность найдена, то второй момент поля (функцию взаимной когерентности) Г(га, ta, Гь, tb) МОЖНО ПОЛуЧИТЬ С ПОМОЩЬЮ Преобра-зования Фурье (15.1). В следующих разделах мы дадим несколько примеров такого решения.
15.2. Функция взаимной когерентности, угловой спектр и частотный спектр в малоугловом приближении
Если размеры частиц сравнимы с длиной волны или больше ее, то рассеянная частицами волна ограничивается главным образом областью малых углов вблизи направления вперед, что позволяет упростить уравнение переноса и получить точное общее решение. В этом приближении можно вычислить многие полезные величины. В данном разделе мы дадим общие решения для функции взаимной когерентности, углового спектра и частотного спектра флуктуаций поля в облаке случайных рассеивателей.
Малоугловое приближение обсуждалось в гл. 13. Следуя подходу, развитому в разд. 13.1, и учитывая (13.5), запишем при-
50
Глава IS
ближенно уравнение переноса в виде р, s, td) + s • VI (z, р, s, td) =
оо
= — PnV(z, Р, s, td)+ jj jj p(s —s', td)I(z, p, s', td)ds', (15.4)
— oo
где концентрация частиц обозначена через рл, чтобы избежать путаницы с радиальным вектором р, и
s = /х 4- ту, г = р 4- ZZ, F (s, s', td) = -±p{s — s', td).
Общее решение уравнения (15.4) получено выше в (13.18):
I (z, р, s,td) = -^уг \ dv. (j dq ехр (— їх . р — is • q) F0 (х, q 4- кг) X
XK(z, х, q, td), (15.5)
где
Fо («, q) = ^ /0 (p, s) exp (— ix • q 4- is • q) dp ds,
K(z,k, q, /d) = exp|^— $pA{ 1 —^-P(q4- x(z — г'), ^)}d2'J,
oo
^(q. k) = /d)eis-qds.
— oo
Здесь I0(p, s) — лучевая интенсивность при 2 = 0.
Функция взаимной когерентности в точке (z, р) дается выражением
г (z, Р, pd, td) = (ty(z, Pi, /i)tp*(z, p2, t2))~
= ^ / (z, p, s, td) exp (iKrs • Pd)rfs, (15.6a)
где p = >/2 (pi 4- рг), Pd = Pi — P2 и td = ti — u.
Формальное решение (15.5) можно выразить также через функцию взаимной когерентности (15.6а). Используя функцию взаимной когерентности при 2 = 0
Го(р. Р*)= J/0(P, s)exp(i7Crs-p^ds, (15,66)
Теория многократного рассеяний и распространение импульсов 51
получаем Г (z, р, р^, id)
=(^;)2jj dp' 5 dp'dr0{(>', pd)exp[i^(p—pi) ¦ (p—p')—Я], (15.6b)
Z
H = 5 P„(h { 1 - ± P[Krp'd + Kr (Pa - pi)^-, /„] } dz'.
о
Угловой спектр в точке (z, р) дается лучевой интенсивностью
I (z, р, s, (d = 0) = I (z, р, їх + ту, ld = 0), 5 ^
/ = sin 0 cos ¦/>, т — sin 0 sin ¦/>,
где 0 и ф определяются в сферических координатах.
Частотный спектр W в точке (z, р) определяется выражением
ОО
W (г, Р, pd = 0, со) = 2 ^ Г (г, р, pd = 0, td) exp (iatd) dtd =
— OO 00
= 4^ Г (z, p, pd = 0, td) cos (a>ld) dtd. (15.8a) о
Интеграл от частотного спектра по всем частотам равен полной мощности Р*:
Ptiz, р) = Г(z, р, pd = 0, td = 0) =
ОО оо
= ~?Г 5 W (г> Р> Р<г = 0> W (z, p, pd = 0, co)df, (15.86)
— oo 0
где со = 2л/.
В (15.7) мы отождествили лучевую интенсивность с угловым спектром. Заметим, что угловой спектр дается двумерным преобразованием Фурье от функции взаимной когерентности, а частотный спектр (15.8а) —одномерным преобразованием Фурье по времени.
15.3. Случай плоской падающей волны
В качестве примера рассмотрим падение плоской волны на облако случайных рассеивателей. В этом случае лучевая интенсивность при 2 = 0 определяется выражением [см. (13.22)]
/0(р, s) = /06(s), Fq{x, q) = (2я)2/06 (х). (15.9)
Будем считать, что частицы движутся со средней скоростью U = Ux, а флуктуации скорости описываются дисперсией ol
52
Глава 15
[см. (14.108) и (14.109)]. Предположим также, что фазовая функция имеет гауссову форму [см. (6.20), (6.21), (6.129) и
(13.24)]. Тогда мы имеем следующее выражение для F:
Fit, ld)— ехр[— apS2 — iKr* -Ulj — ] 1 (15.10)
где коэффициент ap приближенно пропорционален величине (D/Я)2 и становится равным 2,66 (D/Х)2, когда диаметр частиц D много больше длины волны. Используя (15.5), получаем
ip (1 + А
где А = KWvld/Zap- Подставляя (15.9) и (15.11) в (15.5), находим
I (z, s, td) = jjj dqe-i*-* К (2, q, td),
