Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
оо оо
(p<*/)s = J patW (D) dD = ^ ot (D) n (D) dD. (14.119)
о о
Дисперсия величины f(D) определяется выражением
oo
Of = <№)-/ (0)>а = 5 [/ (D) - (f (D))f w (D) dD. (14.120)
о
Если f(D) является медленно меняющейся монотонной функцией D, а разброс по размерам невелик, то можно получить приближенное выражение для дисперсии ст^ следующим образом. Разложим f(D) в ряд Тейлора вблизи среднего значения D0 = <?)> и удержим два первых члена этого ряда:
f(D) = fm + (D-D0)-§Jr +..., (14.121)
Do
ОО
где Do = (D)=\DW(D)dD и f(D0) = Подставив
о
(14.121} в (14.120), получим приближенное соотношение
<14Л22>
Теория многократного рассеяния волн
39
где <j2d=^(D — Д))2 W (D) dD — дисперсия распределения по раз-
о
мерам.
Например, для случая f = рat дисперсия приближенно выражается как
o*&p2\dot/dDf^o%. (14.123)
Приложение 14А. Пример процесса рассеяния по Тверскому для N = 3
В данном приложении мы проиллюстрируем процессы рассеяния некогерентной интенсивности, учитываемые интегральным уравнением Тверского, для случая, когда имеются только три рассеивателя. Всего при участии трех рассеивателей уравнение Тверского учитывает 159 различных процессов (см. [348]).
а. Процессы однократного рассеяния. Эти процессы включают три случая (s = 1, 2, 3) (рис. 14А.1).
Рис. 14А.1. Однократное рассеяние. Рис. 14А.2. Двукратное рассеяние.
б. Процессы двукратного рассеяния. Как показано ниже, имеются пять различных случаев для каждого s и / и шесть различных комбинаций s и /, так что всего 5 X 6 — 30 процессов (рис. 14А.2):
s | 1 1 2 2 3 3
/ 12 3 13 12
в. Процессы трехкратного рассеяния. Имеются шесть комбинаций s, t и пг:
s \ 1 1 2 2 3 3
t | 2 3 13 12
m\3 2 3 1 2 1
40
Глава 14
Рис. 14А.З. Трехкратное рассеяние.
Для каждого s, t и т имеется 21 случай, а всего 126 случаев (рис. 14А.З).
Приложение 14Б. Оценка многократного интеграла / с помощью метода стационарной фазы
оо оо оо
I— ^ dxi ^dx2 ... ^ dxNA(x{ ... xN)exp[if(xh x2, ..., %)],
— 00 — 00 — 00
(14Б.1)
Прежде всего найдем стационарную точку (*10, х2о, *зо, ..., *лго), координаты которой удовлетворяют N уравнениям:
дї дї df _ __ V n ,|,E„
Теория многократного рассеяния волн
41
Затем разложим f в ряд вблизи стационарной точки:
/ (-*1. х2> • • •> xn) — f (*10. *20» • • • > хыо) + ‘2г[(-':1 — хю) "Ь
+ (х2 — х2о) -jTT- + . • • + (XN — xno) 7Г~1 f I +
OX2 UXN J >xu„ JC20, ...
-f- члены высшего порядка.
При этом члены высшего порядка дают малый вклад в интеграл, если вторые производные / не малы. Предположим далее, что
амплитуда А(хі..........xN) есть медленно меняющаяся функция
*!,•••» хы, и используем аппроксимацию
А(хі......XN)f)iA{Xю, *2о, xN0).
Положив затем хх — х10 = х[, х2 — х20 — х'2, ..., запишем 1-А (*ю, *20.......xno) exp [if (*10, *20, .... *ло)] X
OO 00 OO
X \ dx\ \dx' ... dx'N exp j [Г]) , (14Б.З)
— 00 —00 —00
где
m = + ••• +x'Ni)21 Запишем [Г] в матричном виде
* —
т = xfx,
X* fl 1 fl2 • • • flN
Л1 /21
. F = *
X. _ffj 1 . . . . ffJN-
(14Б.4)
где * — транспонированная матрица *, а
fu^-T^rrf , ,
дхідх! *го, *2_о,...
Заметим теперь, что с помощью ортогонального преобразования от X к Y ’), X = PY, где _ _
У і У2
Y =’
- У N -
‘) Для случая діух переменных это соответствует повороту системы координат вокруг начала до совпадения с главными осями.
42
Глава 14
мы можем привести [Г] к диагональному виду: [Г] = XFX = YPFPY == ?аГ, где X— транспонированная матрица X, а
(14Б.5)
а =
а2 О О
О
О
О О
а2 0 ... О
аз ... О
О О О ... а2, Таким образом, получаем
[Т] = а\у\ + а\у1+ ... + a2Ny2N.
(І4.Б.6)
Заметим, что якобиан перехода от координат х[, ..., x'N к координатам г/ь г/г. • • • > yN равен единице:
dx[ dx2 ... dx'N =
x'N)
d(yv
Un)
dy{ ... dyN,
якобиан
9 (x\..........x'n)
д(Уі........vN)
dx{
~dyi
dxl
~дУ~ы
dxN
dy\
dxN
&yN
=IPI=1.
Таким образом, получаем
oo oo oo
^ dx[ ^ dx'2 ... ^ dx'N exp (i у [Г]) =
— oo — oo —oo
oo oo oo
= 5 dyi 5 dy2 ... J dyN exp (i \a\y\ -f а2г/2 -f ... +0^]) =
(14Б.7)
(2я)п/2 einm
¦Vа1а2 • • • aN
Но, поскольку
а|а| ... =|а|Н^І = ттт = ІП
Теория многократного рассеяния волн
43
можно записать
(2л)п!2
I = А (*10, *20......*лго) exp [if (*ю, *20, . •., %о)] у—--------. (14Б.8)
где
А = детерминант F = |F| называют гессианом. Для N = 2 имеем
ОО 00
/= ^ dxі ^ dx2A{xlt *2) ехр [г/(*ь *2)] =
— оо — оо
= Л(*ю, *20) ехр [г/(*ю, *20)] -¦ f^J==r, (14Б.9)
V^1^22 ~ fl2
где *10, *20 определяются ИЗ условий df/d*! = 0, df/dx2 = О Пример I.
оо оо
-оо —оо
В этом случае
f = k V(Xs — Xaf + (ys — уa)2 + (zs — Zaf = kr и стационарная точка (*so, yso) удовлетворяет уравнениям
= k Xs~Xa =0, -~- = k ys-~-^a- =0. (14Б.11)
dxs dxs r oys r ' >
Поэтому XsO = Ха И ї/so = У а- Далее, d2f
dxl
dxs dys поэтому
= il(- (*s ~Xa)2 ^ =k(- (ys ~Уа^ Л
\r r3 )' dy\ \r г3 у
*1--------
2 ЗХІ
IwA (xso, yso) — exp (ik \zs — za\). (14Б. 12)
Пример II.
/= J dx J dyA(x, y) --[—rrJ2 + Ла)1 . (14Б.13)
oo oo
— OP —OP
Глава 14
где r\ = x2 + y2 + z\ a r2 = (X-xY + (Y-yf + (Z-z)2. Стационарная точка (xs, z) определяется условиями
