Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичное изображение третьего члена приведено на рис. 14.8, в.
Продолжая этот процесс, можно понять, что интегральное уравнение Тверского можно получить, усредняя произведение полей и -ф6*, даваемых основными процессами рассеяния (14.9), проиллюстрированными на рис. 14.5, а, В приложении 14А рассмотрен пример таких процессов для N = 3.
Таким образом, как интегральное уравнение Фолди—Тверского для когерентного поля, так и интегральное уравнение Тверского для интенсивности учитывают одни и те же процессы рассеяния, описываемые выражением (14.9), и поэтому эти уравнения согласуются друг с другом.
Следует заметить, что эти уравнения соответствуют первому сглаженному приближению в более строгих уравнениях Дайсона и Бете — Солпитера, которые можно вывести с помощью диаграммных методов [142]. Более строгие формулировки можно найти в работах [149, 250].
14.5. Когерентное поле
Рассмотрим слой толщины d, содержащий большое число рассеивателей; пусть на него нормально падает плоская волна-(рис. 14.9).
Падающая волна единичной амплитуды задается выражением
Мг) = е1кг. (14.33)
Вычислим когерентное поле (ф) внутри слоя, которое удовлетворяет интегральному уравнению Фолди — Тверского
(О = ФЇ + \ К <У> р (rs) drs. (14.34)
Как отмечалось в разд. 14.1, и? является оператором, и Us{tys) выражает поле в точке га, обусловленное рассеянием волны <-»Jjs> на рассеивателе в точке rs. Поскольку геометрия слоя и падающей волны не зависит от координат х и у, когерентное поле <-ф >
также не зависит от х и у, так что <-ф> должно соответствовать
плоской волне, распространяющейся в направлении +z.
Рассмотрим величину uas (ф5). Она описывает рассеяние волны (г)?), на отдельном рассеивателе. Если точка га находится в
18
Глава 14
дальней зоне по отношению к рассеивателю, находящемуся в точке rs, то приближенно можно записать
Us <^> = f (О, Г) СХР I rJ-гТ|Г''} (14-35>
где і — единичный вектор в направлении распространения (ifs) (в данном случае і совпадает с і2), а 0 — единичный вектор в направлении ra — rs.
О О о*
о °°
О
О о'
'ффэ
Рис. 14.9. Падение плоской волны на слой толщины d.
Рис. 14.10. Ориентация векторов г и rs из уравнения (14.36).
Используя (14.33) и (14.35), запишем интегральное уравнение (14.34) в виде (рис. 14.10)
ОО оо
<г|з (z)> = eikz + \ dzs jj dxs jj dyj (0, ї) -exp - r, P*— ^
(14.36)
— oo —oo
Рассмотрим прежде всего когерентное поле внутри слоя
0 <. z <. d. Интегрирование по xs и ys можно выполнить методом стационарной фазы (приложение 14Б, пример I). Стационарная точка определяется уравнениями
дх.
г —г*
:0 и ^7|r_rsl==0’
котрые дают Xso = х и yso = у. Таким образом, получаем
Теория многократного рассеяния волн
19
Используя (14.37), запишем (14.36) в виде 2
СФ (2)} = eikz +\dzs^j- exp [ik (z — Zs)] f (І, i)p (l|) (zs)) +
0
d
+ $ dzs~ exp [ik (zs — z)] f (— T, 0 p (if> (zs)). (14.38)
2
Известно, что для большого рассеивателя размера а с малой оптической плотностью отношение амплитуды рассеяния вперед к амплитуде рассеяния назад по порядку величины равно /(і, і)//(—і, і) ~ (ka)4, а для большого идеального проводника /0> !)//(—і, і) ~ {ka)2. Поэтому вторым интегралом в (14.38) можно пренебречь. Предполагая далее, что плотность р постоянна, запишем (14.38) в виде
(ф (г)} = eikz 1 + f (і, T) р ^ exp (— ikzs) (ф (zs)) dzsj. (14.39)
Это интегральное уравнение можно решить точно, используя подстановку
(г|,(г)> = Ле«г. (14.40)
В результате получим
А= 1, K = k + -”f^ i)p-. (14.41)
Решение (14.40), (14.41) означает, что при падении на слой плоской волны среднее поле распространяется в слое с постоянной распространения К. В более общем случае произвольной падающей на слой волны среднее поле (г])) можно описать, считая, что оно удовлетворяет волновому уравнению
(V2 + К2) ("Ф (г)> = 0, (14.42)
где К = k + [2л/(I, i)/?]p. Заметим, что амплитуда /(і, і), вообще говоря, комплексна даже в случае непоглощающих рассеивателей, поэтому в процессе распространения когерентное поле (гр(г)) ослабляется. Такое ослабление обусловлено рассеянием и связано с сечением рассеяния. Чтобы пояснить это, рассмотрим когерентную интенсивность для плоской падающей волны. В этом случае имеем
|<i|>(z)>.p = ехр{ — P5p-lm/(b »>}. (14.43)
20
Глава 14
Заметим, что, согласно «оптической теореме» (приложение 14В), -у- Im f (Т, Ї) = trs + оа, (14.44)
где os — сечение рассеяния, а оа — сечение поглощения. Поэтому (14.43) принимает вид
| (г)) |2 = ехр [— р (os + оа) г], 0 < z < й. (14.45)
Рассматривая область вне слоя z>d, подставим (14 40) в (14.39) и заменим верхний предел интеграла на d. В результате получим
(ф (г)) = exp [iKd -f ik (z — d)\,
|<ф(г)> p = exp[— p(crs + oa)d\, z> d. (14.46)
Отсюда видно, что когерентная интенсивность ослабляется экспоненциально, причем постоянная ослабления пропорциональна ПЛОТНОСТИ И полному сечению Os + Оа.
Следует заметить, что, хотя проведенный в данном разделе анализ относится к случаю падения на слой плоской волны, обобщение такого подхода, даваемое уравнением (14.42), оказывается хорошим приближением для многих практических ситуаций.
