Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
V* = + Z «“# + ? Z Ки№ +
5=1 5—1 t = 1, t=f^S
N N Л/
+ ? ? ? v‘/J?+
s-1 іфз m-1, тфі, тфв
(14.9)
В табл. 14.1 дается сравнение числа членов, учитываемых при точном описании процесса многократного рассеяния [уравнение (14.8)] и при описании по Тверскому [уравнение (14.9)]. Ясно, что при больших N различие между точным описанием и описаним Тверского становится очень малым.
Таблица 14.1
Е [точное
уравнение Т [уравнение Тверского (14,9) ] (14.8) ]
Е — Т
0° падающее Однократное рассеяние Двукратное рассеяние
Трехкратное рассеяние Четырехкратное рассеяние
1
N
N (JV- 1) N (N — I)2
1
N
N(N-1)
N (N- 1) (Л/ — 2)
0
0
0
1
N- 1
3JV — 5 (N-iy
Уравнение (14.9), которое называют разложением Тверского, полезно для понимания учитываемых теорией процессов рассеяния, но не удобно для вычисления требуемых величин. Для этой цели Фолди и Тверским были получены замкнутые интегральные уравнения, которые приводятся в следующих разделах.
Теория многократного рассеяния волн
11
14.2. Статистическое усреднение для дискретных рассеивателей
Рассмотрим случайную функцию f, которая зависит от параметров всех N рассеивателей. Этой функцией может быть поле г|з или произведение полей. Рассмотрим усреднение такой функции по ансамблю. Используя функцию плотности вероятности №(1,
2, 3, .. ., М), среднее значение f можно записать в виде
</>= $$ ... 2, ..., s, JV)dl, d2 ...ds ...dN. (14.10)
Переменная s описывает все характеристики s-ro рассеивателя: положение rs, форму, ориентацию и диэлектрическую проницаемость. Поэтому можно написать
ds = drsdt,s, (14.11)
где drs — элементарный объем dxsdysdzs, a dt,s учитывает все остальные характеристики рассеивателя:
d^s = d (форма s-то рассеивателя) d (его ориентация) d (его
размер) ....
Рассмотрим теперь важный случай, когда концентрация частиц мала, а их размер во много раз меньше расстояния между ними. В этом случае можно пренебречь конечным размером частиц и предположить, что положение и свойства каждой частицы не зависят от расположения и свойств всех других частиц. Это означает также, что все частицы рассматриваются как точечные, а влияние их размеров сказывается только на характеристиках рассеяния. При этих предположениях имеем
W{\_, 2, 3, ...,s, ..., W = w(l)w(2)w(3)...w(s)...w(tf). (14.12)
Предположим далее, что все рассеиватели имеют одинаковые статистические характеристики. Тогда, записав
w(s} = w(rs, ?s), (14.13)
мы можем осуществить интегрирование по всем ts. В результате получим
</>=$$ • • • 5 [/кда(гі)ш(г2) • ¦ • w(rs) ¦ • • w(rN)drt ... drN, (14.14)
вде [fk — среднее значение f, отвечающее средним характеристикам рассеивателя (форма, ориентация и т. д.). Функцию
12
Глава 14
плотности вероятности да(Гі) можно интерпретировать следующим образом:
w(rs)drs =
= вероятность нахождения s-ro рассеивателя в элементарном объеме drs =
число рассеивателей в drs = dxs dys dzs p (rs) drs , < . <
полное число рассеивателей в V N ’ ' ’ ^
где р(г^)—концентрация частиц, т. е. число рассеивателей в единичном объеме. Таким образом, имеем
w(rs) = p{rs)/N. (14.16)
Если концентрация р(г«) постоянна в объеме V, то
р = N/V и w(rs)=\/V.
Среднее значение теперь дается выражением
<f> - SS... S [fk-p(-l)l>ir;V-:,,j>)^^ ¦ ¦ • (14.17)
Если [f] ? зависит только от положения s-ro рассеивателя и не зависит от положения других рассеивателей, то, написав [f]g = = f(rs), можно проинтегрировать (14.17) по всем гь . . . , rN, за исключением rs. Замечая, что
^ ™ (ri) dr{ = jj ¦' = 1,
получим
{f{rs))^\f{Ts)^-drs. (14.18)
Если [f] і зависит от положения двух различных рассеивателей (s-ro и t-го), то, записав [f] — f(rs, г*), найдем
(f (ra, rt)) =\\f (rs, r<) —drs drt. (14.19)
Выражения (14.18) и (14.19) можно обобщить на любое число рассеивателей. Эти выражения будут использованы для нахождения статистических средних в последующих разделах1).
*) При больших концентрациях рассеивателей приходится вводить двухточечную функцию распределения вероятности [28, 353].
Теория многократного рассеяния волн
13
14.3. Интегральное уравнение Фолди—Тверского для когерентного поля
Рассмотрим поле г|эа в точке га случайной среды. Вообще говоря, поле г|;а является случайной функцией точки га и времени, и его можно разбить на среднее поле (г|эа) и флуктуационное поле l|)“.
Среднее поле (я|;а) называют также когерентным полем, а квадрат его амплитуды !(я|)“)|2—когерентной интенсивностью. Флуктуационное поле г|э“ называют еще некогерентным полем, и соответственно средний квадрат его амплитуды (|^f |2)— некогерентной интенсивностью. Полная интенсивность представляет собой средний квадрат амплитуды полного поля (|і|за|2) и равна сумме когерентной и некогерентной интенсивностей:
< | Г)=< | <г])а> + ч>; Г)=| (ф°) р + < | ч>; |2>. (14.20)
В качестве примера рассмотрим нормальное падение плоской волны на полубесконечную область со случайными рассеивателями (рис. 14.6). Для детального описания введенных величин
Рис. 14.6. Падение плоской волны на полубезграничную среду, и графики когерентной интенсивности С, некогерентной интенсивности / и полной интенсивности Т.
