Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
в. Метод, основанный на измерении наклона корреляционной функции. Наклон корреляционной функции при т — 0 определяется выражением
L = 8л2/г2 S dXl ] *2 d% VJl (* x)Sin2 [ ~2kL Л) **] Ф" <*• т1)-
о о
(22.12)
Оказалось^__что предпочтительнее использовать разнесение
р = 0,33д/XL, поскольку при этом в наклон (22.12) входят наиболее равномерно взвешенные вдоль трассы значения Сп и V.
254
Глава 22
Скорость ветра, измеренная оптическим методом, сравнивалась с усредненными вдоль трассы данными нескольких анемо-метрических измерений, и было получено хорошее согласие.
22.4. Дистанционное зондирование профиля структурной характеристики и некорректно поставленная задача
До сих пор мы рассматривали дистанционное зондирование усредненных вдоль трассы распространения структурной характеристики и скорости ветра. Предположим, что мы хотим найти профиль структурной характеристики как функцию положения вдоль трассы при помощи измерений флуктуационных характеристик волны. Очевидно, что для нахождения этого профиля требуется гораздо больше данных, чем в случае определения среднего значения. Число приемников, естественно, должно возрасти. Чтобы проиллюстрировать этот факт, рассмотрим корреляционную функцию (22.10). Используя (22.11), запишем
Вх (р, т) = jj chi К (р, т, г])С2п (ті), (22.13)
где
оо
К (Р, т, Л) = 8я2?2 (0,033) \ «-МУ,, (и | - Ft | ) X
X sin2[—2^Л"У“2] d%-
Проведем теперь серию измерений и получим М различных значений корреляционной функции Вх(Рі, Ті), где і = 1,2, М. Заменяя приближенно интеграл в (22.13) рядом, получим
N
Вх(рі, Тi) = J]a(pi, ti, r]j)C2n(r]j), (22.14)
i-і
где a (pi, %i, ті/) = WjK(pi, Xi, т}у) и Ц7/— соответствующая весовая функция, зависящая от типа квадратурной формулы, исполь-
зуемой при переходе от интеграла (22.13) к ряду (22.14). Запишем формулу (22.14) в матричной форме
g = Af, (22.15)
где g = (gi) — матрица-столбец размера М X 1> А = (ац) — прямоугольная матрица размера MX N, / = (//) — матрица-столбец размера JVX 1 и
gi = вх (рр Ті), ац = WjK (pi> г]j), fi = (?n (л/)*
Дистанционное зондирование и методы обращения 255
В формуле (22.15) gi (і = 1, ..., М) — данные, получающиеся из М различных измерений, (а,/) — известная матрица, a // (/=1, ..., N)—неизвестные величины.
Вообще говоря, число измерений М должно быть по крайней мере равно числу неизвестных N, а обычно М > N. Простейшим способом получения наилучшего возможного значения неизвестной / из измеренных данных g является метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов состоит в нахождении такого значения /, для которого квадрат разности g—Л/ оказывается минимальным:
I g- — Л/1 = min. (22.16)
Решение, удовлетворяющее условию (22.16), хорошо известно
[128]:
f = (A+A)~lA+g, (22.17)
где А+ — матрица, комплексно-сопряженная транспонированной матрице Л. При М — N решение (22.17) сводится к обычному обращению
/ = Л-^. (22.18)
Для многих задач дистанционного зондирования, как будет показано ниже, формулы (22.17) или (22.18) не дают требуемого решения, так как малые ошибки измерений g приводят к очень большим ошибкам определения неизвестных величин. Для иллюстрации рассмотрим формулу (22.17) и предположим, что в определении g имеется некоторая ошибка бg, а результирующая ошибка в / есть б/. Тогда имеем
6/ = (Л+Л)-1Л+б?. (22.19)
В качестве относительной ошибки А/ возьмем
Д/ = 17Г. (22.20)
где Ц/ІІ — норма /, определенная как
Ц/ІІ = шах | f} |. (22.21)
Используя (22.19), получаем
д*=ііїг <11 (л+л)_11111 л+11 ’ (22-22)
где |[Л|| — норма матрицы Л, определенная выражением
|| Л || = шах ? \а„\, (22.23)
і I
так что максимальное значение относительной ошибки А/ тах есть
А/тах = ||(Л+ЛГ111Н+1|А, (22.24)
256
Глава 22
где Ag — относительная ошибка g, равная ||6g||/||g||. Во многих задачах дистанционного зондирования элементы ац не очень сильно отличаются друг от друга, поэтому норма |](Л+Л)_1|| может принимать очень большие значения и часто достигает значений порядка 10 или 10 в некоторой степени. Такая ситуация называется неустойчивой, а сама задача — «некорректно поставленной» [129]. С математической точки зрения это является результатом того, что детерминант |^4+^4| принимает очень малое значение. Это эквивалентно также большому отношению максимальной величины |Яшах К МИНИМЭЛЬНОЙ ВЄЛИЧИНЄ Цшіп С06СТВЄН-ных значений А+А. Обычно неустойчивость возрастает с ростом
(-^тах /ц тіп-
В качестве примера рассмотрим простую задачу
А-
и.'п *“(!>
где |є|-С 1. Точное решение уравнения g = Af есть
/=|2|Є\ (22.23)
-2 + е-
Введем теперь в измеренные данные некоторую ошибку бg и оценим ошибку 8f решения f. Заметим, что ||Л|| ~ 2. Кроме того, поскольку
. 1 / 1 - 1 -е\
і > (22-27)
получаем И-11| ~ |е|-1. Поэтому из формулы (22.24) находим
Afmax = 2|e|_1 Дг. (22.28)
Это означает, что при |є| = 10~3 ошибка в 1% в данных измерений g увеличивается до ошибки в 2000% в определении неизвестной величины f, если просто использовать соотношение f = = A~lgd- Это можно увидеть также, положив
&g2.
где Agi и Ag2 порядка ±10~2. Тогда имеем
