Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
/ = я2Г(р, д),
о = яй47?20[1 + cos 0г cos 0S — sin 0(. sin 0S cos <?s]2 \V (p, q),
где p = —vx = k sin 0S cos <j>s — k sin 0,- и q — —vy = = k sin 0s sin <j>s — те же величины, что и в (21.56). В случае обратного рассеяния (0s = 0i, = я) имеем
o = 4jik*R2f0W (-2k sinG,, 0). (21.108)
Отметим, что формула (21.108) с точностью до коэффициента отражения и описывающего горизонтальную поляризацию падающей волны множителя cos40; совпадает с выражением (21.65), полученным методом малых возмущений. Множитель cos 40; обусловлен тем, что поверхностные магнитные токи пропорциональны cos 0/, а диаграмма рассеяния вносит дополнительный множитель cos0;. Поэтому рассеянное поле пропорционально cos 20/, а мощность рассеянного поля пропорциональна cos 40*.
В случае слабошероховатой поверхности приближение Кирхгофа даёт практически тот же результат, что и метод малых возмущений. Этого, конечно, следовало ожидать. Нужно заметить, однако, что метод малых возмущений лучше описывает поляризационные эффекты, поскольку он основывается на точных граничных условиях на поверхности. В приближении Кирхгофа используется коэффициент отражения для плоской поверхности, поэтому полностью учесть поляризационные эффекты не удается [361].
Если неровности поверхности велики, то когерентная мощность |<р>|2 практически обращается в нуль, и мы получаем
%2 (Vz, —Vz) — \% (Vz) I2 « X2 (Vz, — Vz),
I=\dxd dyd exp (ivxxd + ivyyd) exp {- v2za\ [1 - С (p)]} =
oo
= 2n ^ pdpJ0(vp)exp{— y2CT2[l — C(p)]}, (21.109)
0
*) Функция W(p,q)—спектральная плотность высот шероховатой поверхности.
Рассеяние на шероховатой поверхности
243
где и = (и2 + и2)7* и р = (x‘d + y2d)'h- Для сильно неровной поверхности v2zo\ S- 1, так что основной вклад в интеграл (21.109) дает окрестность точки р = 0. Поэтому мы разложим 1 — С(р) в ряд по степеням р2 и сохраним лишь первый член:
1-С(р) = р2//2+ (21.110)
где через I обозначен радиус корреляции неровностей поверхности. Подставляя (21.110) в (21.109), получаем
k2 cos2 0, я/2 / и2/2 \
СГ=-----------R-J-21, / =-2-2-ехр I--------2 2~ ) * (21.111)
я fU r \ 4v\al J
где f дано в (21.91), а
vz = — k (cos 0j + cos 0S), v2 = p2 + q2, p = k (sin 0S cos j>s — sin 0,), q = k sin 0S sin <j>s.
Сечение обратного рассеяния (0S = 0;, <ps = n) равно ( Я ?o v2 (I2 tg2e, \
<2U12)
Это выражение можно также представить в виде
5tg
(21.113)
где величину tg р0 = 2(У0/1 следует интерпретировать как среднее значение наклонов шероховатой поверхности.
Рис. 21.8. Обратное рассеяние от шероховатой поверхности при освещении ее остронаправленным пучком.
Некогерентная мощность Ps теперь определяется выражением
(21.5). Предположим, например, что излучатель обладает узкой диаграммой направленности
Gt (Г) = Gt (0) ехр (— 02/0о), (21.114)
где 0 измеряется от направления на максимум диаграммы направленности (рис. 21.8). Замечая, что Ri = R2 « R, получаем
Р, %2nQleG2t (0)
1Г=-------гЧ ¦ (21.115)
Pt (4я) 2R cos 0;
где а определяется выражением (21.112).
244
Глава 21
21.12. Распределение вероятности рассеянного поля
Рассмотрим диффузно рассеянное поле р вне зеркального направления. В этом случае <р> = 0, а само поле р состоит из полей, рассеянных различными участками шероховатой поверхности. Если положить р — X -j- іУ, то X и У будут представлять собой суммы большого числа независимых величин Xi и У;:
N N
X=ZVi и У = Е^- (21.116)
г (
Согласно центральной предельной теореме, распределение случайной величины, представляющей собой сумму N независимых случайных величин, при N -> оо приближается к нормальному независимо от того, какому распределению подчиняется каждое из слагаемых.
Такая ситуация полностью аналогична рассмотренной в разд. 4.9. Поэтому амплитуда А поля р распределена по рэлеев-скому закону.
В направлении, где поле складывается из когерентной </?> и некогерентной частей, нужно снова исследовать (21.116). Если положить (р) = А0 ехр(іф0) и отсчитывать фазу так, что ф0 = О, то некогерентное поле ps = р — </?> можно записать в виде суммы большого числа слагаемых:
N N
Ps = X-A0 + iY, Х-А0='?Х,, Y=ZYt. (21.117)
І І
Используя центральную предельную теорему, запишем функцию плотности вероятности №®(Х, У) поля р в виде
і Г (х - Л)2 + у2 1
WAX, Y) = —-ехр і--------------- , (21.118)
2я as L J
где сг2 — дисперсия X — Aq и У.
Тогда плотность вероятности амплитуды А определяется формулой (см. (4.80) и (4.81); см. также [174])
WS(X, У)Л^ = ^ехр(--^^)/0(^),
(21.119)
где /о — модифицированная функция Бесселя. Это распределение называют распределением Райса — Накагами. Оно было получено Накагами в 1940 г., а затем Райсом в 1944 г. Заметим, что при А0 = 0 оно переходит в рэлеевское распределение.
Рассеяние на шероховатой поверхности
245
Исследовалось также другое распределение, отвечающее случаю, когда дисперсия величины X — А0 отличается от дисперсии Y. Такое распределение называют распределением Хойта [30]. При освещении поверхности когерентным светом она кажется ячеистой. Это явление называется пятнистостью; по существу оно определяется рассеянием на шероховатой поверхности. Современное состояние этого вопроса рассматривается в специальном выпуске «Пятнистость в оптике» журнала J. Optical Society of America, November 1976 (хороший обзор дан в работе [159]).
