Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
5»t(j \у <22-5о>
Ошибка определения Af, найденная из Bgd, оказывается того же порядка, что и ошибка измерений Ag. Следовательно, Bgd дает устойчивое решение.
22.8. Метод обращения Бакуса — Гильберта
Метод регуляризации (сглаживания), рассмотренный в разд. 22.6, для получения устойчивого решения требует разумного выбора параметров Vi и у2. Статистический метод, описанный в разд. 22.7, опирается на знание статистических свойств ошибок измерений и неизвестных величин. Эти требования не относятся к числу серьезных недостатков. Фактически во многих прикладных задачах эти требования оказываются легко выполнимыми. В 1970 г. Бакус и Гильберт предложили метод обращения, не требующий априорной информации о неизвестной функции. Кроме того, он позволяет найти разрешение (уширение) и точность (дисперсию) как функции ошибки измерения и тем самым позволяет управлять выбором уширения и дисперсии. В этом разделе мы дадим краткое описание этого метода [7, 71, 290,375].
Рассмотрим задачу обращения (22.29) и запишем ее в виде
ь
gi= \ ki(r)f(r)dr, (22.51)
а
Дистанционное зондирование и методы обращения
263
где f(r) —неизвестная функция, которую необходимо найти, Кі (г) —известная функция, a gi— величины, подлежащие измерению. Из N измерений получаем данные наблюдений gdi (і = 1, 2, N). Поскольку истинные значения gi никогда не известны,
a gdi всегда содержит некоторые экспериментальные ошибки (шум), запишем
gdi = gi + ni, (22.52)
где tii (і = 1, 2, ..., N) —экспериментальные ошибки. Предположим, что среднее значение <«;) равно нулю и известна корреляционная матрица ошибок ')
Sn = <пл+>, (22.53)
где п = (tii) — матрица-столбец размера N X 1, а п+ — транспонированная матрица.
Попытаемся найти решение f(r) для N измеренных величин gdi (і = \, 2, N). Очевидно, что нельзя надеяться на определение f(r) по конечному набору величин gdi. Однако можно надеяться, что удастся найти среднее взвешенное значение f для различных г с весовой функцией, выделяющей некоторую точку г0, в которой требуется оценить f(r0). Для нахождения локального среднего значения f(r) вблизи точки г0 воспользуемся сле-
дующей процедурой усреднения:
ь
Ш) = jj Л (г0, г) f (г) dr, (22.54)
а
где А(г0, г) называется усредняющим ядром. Функция Л(г0, г) мала всюду, кроме окрестности точки г = г0, и удовлетворяет условию
ь
jj А (го, г) dr = 1. (22.55)
а
В идеальном случае Л(г0, г) должна быть дельта-функцией
А(г0, г) —8 (г0 — г). Тогда <f(r0)> в точности воспроизводит
f(r). Разумеется, в реальных задачах это невозможно.
В методе Бакуса — Гильберта используется усредняющее ядро вида
N
А (г0, r)= Y,ai Ы Кі (г), (22.56)
г-1
>) Матрица Sn тождественна матрице Rnn из предыдущего раздела. Здесь используется общепринятое обозначение.
264
Глава 12
где Ki (г) —известная функция, входящая в (22.51), а а,(г0) — константа, которая должна выбираться в соответствии с требованием, чтобы А (г0, г) была подобна дельта-функции. Подставляя (22.56) в (22.54), получаем
N
(f (го)} — Т о,і (го) gi- (22.57)
! = 1
Заметим, что если бы Л(г0, г) была дельта-функцией, то (22.57)
было бы точно равно f(r). На практике Л(г0, г) никогда не яв-
ляется дельта-функцией, a gi никогда не известны. Вместо этого известны только данные измерений gdi¦ Запишем
N
(f (го))а — Т a-t (г о) gdi; (22.58)
І-1
очевидно, это равенство не является точным. Однако при надлежащем выборе а,(г0) формула (22.58) должна давать разумное в некотором смысле приближение. В качестве меры точности такого приближения используем две величины: расхождение и дисперсию.
Расхождение определяется как
ь
s {го) = 12 jj (г — г0)2 А2 (го, г) dr, (22.59)
а
Константа здесь выбрана так, чтобы при прямоугольной форме функции А(го, г) с высотой /_1 и шириной /, сосредоточенной вблизи г0, получить s(r0) = /. Подставив (22.56) в (22.59), найдем
s(r0) = a+Sa, (22.60)
где а — (а,(г0)) —матрица-столбец размера /V X 1, а 5 — матрица размера N X N с элементами
ь
Si] (го) — 12 \ (r-ro)2Ki(r)K,{r)dr. (22.61)
а
Выражение (22.60) определяет расхождение для заданного а == «= (а,).
Рассмотрим теперь дисперсию о2. Из формул (22.57) и
(22.58) находим, что ошибка определения неизвестной функции Af = (f(r0))d — </(г0)> выражается через ошибки измерений (шум) щ в виде
N
А{= Ті аі (го) щ- (22.62)
І-1
Дистанционное зондирование и методы обращения
265
Поэтому для дисперсии а2(г0) имеем
б2 (го) = (А2) = а+ Sn а,
(22.63)
где Sn — корреляционная матрица размера N X N (22.53).
Можно ожидать, что для заданного шума Sn при малом расхождении s (г0) дисперсия а2(г0) может оказаться большой. Ба-кус и Гильберт показали, что это действительно так. Иными словами, повышение точности (уменьшение дисперсии) достигается только за счет ухудшения разрешения (увеличения расхождения). Это означает, что необходимо выбирать а;(г0) таким образом, чтобы для данной задачи можно было уменьшить как расхождение, так и дисперсию, и в то же время достичь компромисса между точностью и разрешением,
Рис. 22.3. Кривая баланса для различных ошибок измерений. Сплошная кривая соответствует меньшим значениям ошибок по сравнению с пунктирной кривой.
