Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
273
Если
?f(') = <l/|2>exp(-rV), (А. 33)
то
А.5. Однородные вещественные случайные функции
В качестве обобщения (А. 16) для однородных случайных функций имеем
dv(K) = dv*(-K). (А. 34)
А.6. Стационарные и однородные случайные функции
Рассмотрим случайную функцию / (г, t), стационарную во времени и однородную в пространстве. Тогда имеем
/ (г, /) = ^ ехр (/К • г — /со/) dv (К, и), (А. 35)
a dv удовлетворяют условиям
(dv (К, ®)) = О, (dv (Кь »i) dv* (К2. Иг)) = U (Кь ®і) б (®i — «>2) X
X6(Ki-K2)rf<M<MK,dK2. (А. 36)
В этом случае
В (г, т) = ^ dK da ехр (г'К • г — шт) U (К.») =
= J dKeiK'r Ф (К, т) = J dm-^W (г, со), (А. 37)
где U(К, ®)—четырехмерная спектральная плотность, Ф(К, т) — зависящая от времени трехмерная спектральная плотность, a W(г, ю) —частотный спектр, зависящий от пространственных координат:
ф (К, т) = J da>e~‘™U (К, со) W (г, со) = J dKeiK'T U (К, о). (А. 38)
А.7. Гипотеза замороженности
Если изменения во времени случайной функции /(г, t) вызываются только переносом ее пространственной структуры со скоростью V, то говорят, что выполняется условие «замороженности», Математически оно записывается следующим образом:
/(r,f) = /(r-V/,0). (А. 39)
274
Приложение А
Тогда коорреляционная функция принимает вид В (г, х) = (f (г, - \(и 0) f (г2 - \t2, 0)) =
— B(r~ Vt) = ^ с(К ехр [ЇК • (г — Vt)] Ф (К). (А. 40)
Сравнивая с (А.37), получаем
г/ (к, «в) = 6(<» — к • V) Ф (К), Ф(К,т) = Ф(К)е-ж-^. (А. 41)
Если скорость V слагается из постоянной скорости U и флукту^-ционной скорости V/:
V = U + Vf, (А. 42)
то (А.40) нужно усреднить по флуктуациям Vf. В результате n<f лучим
В (г, т) = ^ dKexp [г'К • (Г — Ut)] Ф(К) (ехр ( /К • Vfx)) =
= J dК ехр [/К • (г - Ux)] Ф (К) % (- Кг), (А. 4^'
где х(—Кт) —характеристическая функция флуктуаций скорости Vf. В этом случае имеем
Ф(К, т) = Ф(К)е-гк'иг)с(— Кт). (А. 44)
Если функция f однородна и изотропна, то удается также связать №(г, ю) при г = 0 с Ф(Д^). Имеем
оо
W(0,ш)= ^ ^К6(© — К • V)Ф(К) = — J Ф(K)KdK. (А. 45)
I m/a I
Это соотношение получается, если положить dК = K2dK"X. X sin QdQdf, выбрать V = vz и проинтегрировать по 0 и ф. Из (А.45) получаем также
”>]».«• (А'46>
Приложение Б
Структурные функции
Случайные процессы, с которыми приходится иметь дело на ¦практике, часто можно с достаточной точностью описывать с помощью стационарных или однородных случайных функций. Однако такое описание оказывается справедливым только в пределах ограниченных временных и пространственных интервалов. При увеличении пространственных или временных интервалов средние значения могут изменяться, что, строго говоря, приводит к нестационарности и неоднородности. Примером может служить ветер в турбулентной атмосфере, среднюю скорость которого допустимо считать постоянной лишь в пределах органиченного временного интервала.
Изучая турбулентность, Колмогоров предложил ввести новый важный класс функций, обобщающий класс стационарных или однородных случайных функций. Уже отмечалось, что поле скоростей в турбулентной среде, строго говоря, неоднородно, поскольку его средние значения по различным участкам турбулентной среды не совпадают друг с другом. Однако если рассмотреть скорости в двух различных точках и составить их разность, то эта разность оказывается практически однородной в широком диапазоне пространственных масштабов. Если неоднородную случайную функцию такого класса обозначить через f(г), то функция [f (г + Td) — f (г) ] будет однородной, даже если функция f(г) сама по себе неоднородна.
В математике такие случайные функции называются случайными процессами со стационарными приращениями, если речь идет о функциях времени, и локально однородными случайными функциями, если говорят о функциях пространственных координат. Такие функции удобнее всего описывать на основе так называемых «структурных функций», которые рассматриваются в данном приложении (см. [275, 392]).
Б.1. Структурная функция и случайные процессы со стационарными приращениями
Рассмотрим случайную функцию времени f(t), которой может быть скорость ветра, влажность, температура, давление или показатель преломления турбулентной атмосферы. Сама функция f(t) нестационарна, но разность f(i + т) —f(t) считается стацио-
276
Приложение Б
нарной. На математическом языке этот факт можно выразить следующими двумя утверждениями:
а. Среднее по статистическому ансамблю от /(/ + т) —f(t) не зависит от t, а зависит только от т:
<(/(^ + т) — /(0 > функция только от т. (Б. 1а)
б. Среднее по статистическому ансамблю от квадрата амплитуды /(/ + т) —f(t) является функцией только т:
Df(i) = (\f(t + x)-f(t)\2). (Б. 1$)
Введенная равенством (Б.16) функция называется структурной функцией. Среднее значение (Б.1а) оказывается пропорциональным т '): +
<(/(/ + т)-/(ф>=с,т. (Б. 2)
Случайный процесс, удовлетворяющий (Б.1а) и (Б.16), называется случайным процессом со стационарными приращениям^ В качестве примера рассмотрим одномерное броуновское движение свободной частицы. Смещение x(t) некоторой определенной частицы не является стационарным процессом, но разность этих смещений x(t + т) — x(t) стационарна.
