Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
f = (А+А + у, /)-1 (А+ gd + Yi fo), (22.34)
где I — квадратная матрица размера N X N.
Выбор yi должен быть сделан так, чтобы обеспечить разумный компромисс между первым и вторым членами в (22.33). Если yi мало, то преобладает первый член, и решение является сильно осциллирующим. Если yi велико, то преобладает второй член, и решение получается сильно сглаженным. Дальнейшие подробности можно найти в работе [94].
В случае yi = 0 решение имеет вид
/ = (Л+ А + Y2 В+В)~1 A+gd. (22.35)
Матрица В может быть взята в виде
-2 1 0 ...................
В =
1-2 1 0 1-2
1
0
0
0
1
¦ 2 1 1 —2
0 1
Bf представляет собой дискретный аналог второй производной /. Более подробно этот метод изложен в работах [71, 90].
22.7. Статистический метод обращения
Во многих задачах дистанционного зондирования встречающиеся ошибки носят статистический характер, поэтому более естественно рассматривать задачу обращения с учетом статистической природы экспериментальных ошибок и другой статистиче-
260
Глава 22
ской информации. В этом разделе мы опишем элементы теории статистического обращения [109, 129, 171, 326].
Рассмотрим некорректно поставленную задачу (22.31). Измеренные данные gd имеют вид (22.32)
gd = g + п,
где gd и п — матрицы размера М X 1- При этом могут быть известны статистические свойства матрицы экспериментальных
ошибок п.
Подставляя (22.32) в (22.31), получаем
gd = Af + n. (22.36)
Соотношение (22.36) можно рассматривать как стохастическое уравнение, а величины ga, f и п — как случайные функции с нулевыми средними значениями:
ы = 0, (0 = 0, (п) = 0. (22.37)
Значения ga, fun, полученные в одном конкретном эксперименте, рассматриваются, таким образом, как одна из реализаций ансамбля.
Задача обращения может быть сформулирована следующим образом: найти матрицу В размера N'X.M, такую, чтобы Bgd было насколько возможно близким к искомой неизвестной функции f. Математически эта близость может быть сформулирована как минимизация среднего квадрата скалярного произведения f— Bgd и некоторого произвольного вектора щ размерности
NXI:
<1 (f — Bgd)+a\ |2> = min. (22.38)
Чтобы найти решение, положим {Bgd)+ai = g^B+ax и B+a\ — a2. Тогда левая часть (22.38) запишется как
<1 f+ai — gja2\2) = a+Rffal — a+Rgtax — a+Rfga2 + a+Rgga2, (22.39)
где Rff = <ff+) — матрица размера N X N, характеризующая корреляцию и называемая корреляционной матрицей. Аналогично Rgf — {gdf+\ Rfg =(fgd) = Rtf и Rgg = (gdgd)-Перепишем правую часть (22.39) в виде
(я2 RggRgffli) Reg(«2 RggRgfai) ~Ь
+ a? (Rfi — RgfRggRgf)a, • (22.40)
Если Rgg положительно определена, то первый член всегда неотрицателен. Кроме того, матрица во втором слагаемом, стоящая
между а,+ и й{, является эрмитовой, поэтому второй член всегда положителен. Следовательно, эту величину можно минимизиро-
Дистанционное зондирование и методы обращения
261
вать путем выбора а2 таким образом, чтобы первый член обращался в нуль. Это дает
а2 —В+а\ —RggRgtcii. (22.41)
Отсюда находим требуемую матрицу В:
B = Rtf(Rggyi. (22.42)
Заметим теперь, что
Rtf = (fst) = (/ (Af + п)+) = Rff Л+ + Rfa, (22.43) Ree = ((Af + n) (Af + n)+) = ARffA+ + RnfA + ARfn + Rna, (22.44)
где Rfn — (fn+y — корреляционная матрица размера /V X M, a Rnn = </ш+> — корреляционная матрица размера М X М.
Подставляя (22.43) и (22.44) в (22.42), находим окончательное решение
f = Bgd, B = (R„A+ + Rfn)(ARffA+ + R;nA+ +
+ ARfn+Rnn)-\ (22.45)
Во многих прикладных задачах ошибки измерений п и неизвестная величина / независимы, так что Rfn = 0, и формула (22.45) принимает вид
B = (RffA+)(ARffA+ + Rnn)~l. (22.46)
Максимальное значение Д; max относительно ошибки определения / связано с относительной ошибкой Дя измерений соотношением
Vax = Hlh|S||A„, (22.47)
где Д/ == Ц6/ІІ/ІІЛІ и Дл = M/||gd||. Норма В, определяемая формулами (22.45) или (22.46), обычно очень мала по сравнению с нормой А~\ поэтому ошибка Д/тах сравнима по величине с экспериментальной ошибкой Д„, и, следовательно, эта процедура дает устойчивое решение.
Как видно из (22.46), эффективность этой процедуры зависит от выбора корреляционных матриц Rff и Rnn¦ Ясно, что если что-лиЬо известно о статистических свойствах неизвестной /и экспериментальной ошибки п, то при построении корреляционных матриц Rff и Rnn можно воспользоваться этой информацией. При этом, очевидно, чем больше нам известно о свойствах / ил, тем лучше мы можем выбрать Rff и Rnn и тем самым получить более точное решение.
В качестве примера рассмотрим задачу, заданную в (22.25) и (22.26). Предположим, что значение элементов / порядка еди-
262
Глава 22
ницы (точное их значение 1/(2 +є)). Для матрицы Rff примем следующий вид:
*»=(o? !;)' (22-48)
где (г| порядка единицы, а корреляция между элементами f (недиагональные члены) считается пренебрежимо малой. Экспериментальную ошибку по-прежнему положим равной 1%. Поэтому возьмем
2 (| ^
(22.49)
(ol 0 \ 40 а2п/
где оп=10~ , и, кроме того, корреляция шумов (недиагональные члены) считается пренебрежимо малой. Подставляя (22.48) и (22.49) в (22.46), получаем
