Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(dy (со)) = 0. (А. 5)
Спектральное представление случайных функций
269
Во-вторых, рассмотрим корреляционную функцию
оо оо
(/МГ(^))= 5 § ехр (— ti + ІЩ t2) (dv (qO dv (<o2)). (A. 6)
— OO “OO
В соответствии с (A. 16) эта величина должна зависеть только от разности t\ — t2. Поэтому потребуем выполнения условий
(dv ((i>i)dv* (со2)) — 0 при ©! ф со2, (А. 7а)
(dv (со*) dv* (со2)) = W (coj) da>x при co1 = co2. (A. 76)
Условия (A.7a) и (A.76), можно объединить, записав
(dv ((Oi) dv* (co2)) = Й7 (®i) 6 (cox — co2) da>2. (A. 8)
Используя (A.8), получаем
oo
(f (h) r (ti)) = 5 exp [- ш (t, - t2)] W (со) rf<0. (A. 9)
— oo
Соотношение (A.8) означает, что если функция f(t) выражена в спектральной форме (А.4), то спектральные амплитуды dv(a>) на различных частотах не коррелированы [см. (4.7а)]. Преобразование (А.9) является обычным преобразованием Фурье, так как корреляционная функция удовлетворяет условию Дирихле. Функция W (со) называется спектральной плотностью случайной функции f(t). Она описывает распределение «мощности» по частотам. Например, дисперсия есть сумма спектральных плотностей по всем частотам:
оо
<|/|2>= 5 ИГ (©)</©. (А. 10)
— оо
Поскольку (А.9) представляет собой обычное преобразование Фурье, обратное преобразование имеет вид
ОО
^ § Bf(%)eimd%, (А.11)
— оо
где i = t\ — t2. Пара преобразований (А.9) и (А. 11) является, как известно, содержанием теоремы Винера — Хинчина.
'При измерениях частотных спектров обычно используют спектральную плотность WT, определяемую соотношениями
оо оо
Bf (т) = ^ WT (/) cos (2я/т) df, WT (f) — 4 ^ Bf (t) cos (2я/т) di.(A. 12) о о
Плотность Wt отличается от W на 4я:
Wr(f) = 4nW (a), (A. 13)
270
Приложение А
А.2. Вещественные стационарные случайные функции
Если f(t) — вещественная функция, то
/(0 = Г(0- (А. 14)
Применяя к (А.4) операцию комплексного сопряжения, получаем
/*(/)= \eiatdv* (со). (А. 15)
Заменяя со на —со и учитывая (А. 14), для вещественной f(tj получаем <
dv (со) = dv* ( — со). (А. 16)
А.З. Однородные комплексные случайные функции
Рассмотренное только что одномерное спектральное представление легко обобщить на трехмерный случай. Запишем
/(r)= ^KTdv(K)) (АЛ^
причем случайные амплитуды c?v(K) удовлетворяют условиям (dv (Ю) = о, (dv (к,) dv' (К2)) = rfKi dK2 Ф (К,) б (К, - Кг), (А. 18) где
K = Kxi-JrKyy + Kzz,
a (Ki - К2) = в (кх 1 - кх2) б (ку1 - ку2) б (Кг1 - Кг2),
dK = dKxX dKyi dKzu dK2 = dKx2 dKy2 dKz2.
Тогда теорема Винера — Хинчина принимает вид
flitt=№)№)>=5®<к>є'к-'ік,
Ф<К)=(2Їр$®'<Г)
где г = Г[ — г2 и dr = dx dy dz.
Для /(г) можно дать и двумерное спектральное представление:
/ (г) = / (х, Р) = 5 ei* 9 dv ^А- 2°)
где г = хх + уу + zz = хх + р. Тогда амплитуды dv(;c, х) должны удовлетворять условиям
(dv (х, х)) = 0,
(dv (хи Щ) dv* (х2, *2)) = F (х, xt) б — х2) dv.\ dx2,
') Случайные функции нескольких переменных часто называют случайными полями. — Прим. перев.
Спектральное представление случайных функций
°<71
где х = х\ — х2. В этом случае
Bf (х, р) = Ї F (х, у) eix v dv.,
, r (А. 22)
77 (х> х) = (2S? і Bf (л:. Р) е~1>< р Связь между F и Ф можно установить, заметив, что
dv (х, и) = ^ ехр (iKxx) dv (К) dKx. (А. 23)
Отсюда имеем
оо
F(x, и)= (j ехр(гД'хх)Ф(К)<і/Сх,
(А- 24)
Ф(К) = 2^ ^ ехР(— iKxx)F {x,v.)dx,
— со
где к = КхХ- + КуУ + KzZ = КхХ + я.
А.4. Однородные и изотропные случайные функции
Если функция /(г) изотропна в плоскости yz, то выражения (А.22) принимают вид
оо
В; {х, р) = 2njj /0 (кр)/7 (я, и) и//к,
(А. 25)
f (*> И> = 2ЇГ S 7° Bf (Х’ р) Р rfP-
о
Для вывода этих формул в (А.22) необходимо перейти к цилиндрической системе координат и выполнить интегрирование по угловой переменной.
Если функция /(г) изотропна в трехмерном пространстве, то (А.24) принимает вид
оо
ф = Ш S ехР (“ iK^ FQ * I* *)dx• <A-26)
, —oo
Поскольку это соотношение должно выполняться для любого Кх, ПОЛОЖИМ Кх = 0 и получим следующую полезную формулу, справедливую для однородных и изотропных случайных функций:
о
Ф{к) = ъ\?Цх\,*)йх, (А. 27)
272
Приложение А
Для однородных и изотропных случайных функций трех переменных справедливы также следующие соотношения. Поскольку функция Ф зависит только от К, можно написать
оо П 2я
Ф (К) — ? ^ г2 dr ^ sin 0 dQ ^ dj>Bf (г) ехр (//Сг cos 0),
0 0 о
где использовано К\Х + К2у + K^z = К-г, а г выражено в сфе-
рической системе координат с осью z, направленной вдоль К. Тогда соотношение между Ф(/С) и В} (г) принимает вид «
оо
ф (К) = ^\Ві (г) г sin (Кг) dr. (А. 28)
О +
Обратное преобразование имеет вид
00
Bf(r) = —r- J Ф (К) К sin (Кг) dK. (A. 2^
о
Заметим также, что одномерный спектр вдоль оси х определяется выражением
оо
= $ Bf (х) ехр (iKix) dx. (А.ЗО)
— оо
Это выражение можно записать в виде
оо
y(*‘) = 4r$Bf(*)cos(^*)dx’
О
и замечая, что
d
dK
можно связать трехмерный спектр Ф (К) с одномерным F(/C) :
1 dV(l 2л К dK
—^ Bf (х) х sin (Кх) dx,
о
ф(«=—йг-т#2-. (A.3I)
Например, если
Bf(r) = (\f I2) ехр (—| г \/а), (А. 32)
Спектральное представление случайных функций
