Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
В данной главе мы рассматривали рассеяние только электромагнитных волн. Однако метод возмущений в равной степени применим и к акустическим задачам. Если шероховатая поверх-
при (р2 -f q2)'h > ,
0 при (р2 -f q2)'k < jfr.
при (p2 + q2f>
(21.77)
236
Глава 21
ность является границей раздела двух жидкостей (например, граница между водой и воздухом), то в качестве неизвестной величины выступает акустический потенциал или акустическое давление. Если же поверхность представляет собой границу между жидкостью и твердым веществом, то приходится рассматривать скалярный и векторный потенциалы.
Если поверхность представляет собой суперпозицию двух шероховатых поверхностей, то говорят о двухмасштабной шероховатой поверхности. Примером такой поверхности служат океанические волны с большой длиной волны, на которые наложена капиллярная рябь с малой длиной волны. Поскольку эти два типа неровностей в статистическом смысле практически независимы друг от друга, сечение рассеяния двухмасштабной шероховатой поверхности можно с хорошей точностью представить в виде суммы сечений рассеяния, отвечающих разным типам шероховатости. Рассеяние на двухмасштабных шероховатых поверхностях широко изучалось в литературе [145, 280].
Упомянем также ранние исследования рассеяния на шероховатых поверхностях [5, 24, 26, 347] и более поздние работы [143, 144, 215]. Связь между приближением Кирхгофа (которое рассматривается в следующем разделе) и методом малых возмущений обсуждалась в ряде работ [228, 361]. Добавим еще обширную литературу, относящуюся к гипотезе Рэлея [22, 65, 66, 254, 256].
21.9. Приближение Кирхгофа: рассеяние звуковых волн на шероховатой поверхности
До сих пор мы исследовали решение задачи о рассеянии волн на шероховатой поверхности в первом приближении метода малых возмущений. В этом приближении мощность когерентной волны равна мощности волны, отраженной от гладкой поверхности, а некогерентная мощность выражается через сечение рассеяния единичной площадки шероховатой поверхности. Если высоты поверхности становятся немалыми по сравнению с длиной волны, то когерентная мощность уменьшается, а некогерентная (диффузная) — возрастает.^ В настоящее время не существует теории, на основе которой можно было бы описать рассеяние на сильно шероховатых noBepxHOCT/ix.j Однако если поверхность искривлена плавно, так что радиусы ее кривизны значительно превосходят длину волны, то можно воспользоваться приближением Кирхгофа, в рамках которого удается получить относительно простое решение задачи.
Рассмотрим падение акустической волны на шероховатую поверхность (рис. 21.7), разделяющую две жидкости (например,
Рассеяние на шероховатой поверхности
237
воздух и воду). Выберем оси координат так, чтобы плоскость xz совпадала с плоскостью падения. Тогда давление в падающей волне
Pi (г) = ехр (i$x — iyz) = ехр (/к/ - г), (21.78)
где к,- = k sin 0;х — k cos 0;Z = fix — yz, a r = xx yy zz. Бу-дем измерять высоту поверхности от ее среднего значения, так что
¦<$(*. у)) = 0. (21.79)
Рассмотрим поле р(г) в точке г, возбуждаемое полем ^(г') на шероховатой поверхности S. В случае электромагнитных волн решение этой задачи дается формулами (21.43). Для скалярных волн имеет место следующая эквивалентная формула, основанная на теореме Грина:
дО0 (г, г')
р (г) = \ [р (г0
S
-Go(г, г')
дп'
др (Ґ)
дп'
] ds', (21.80)
где Go (г, г') = [ехр(ik\r — г'|)]/
/(4л|г — г'1), д/дп' — производная по нормали, а нормаль п' направлена в сторону полупространства, содержащего точку г.
Выберем точку наблюдения г (R,
0s, fs) в дальней зоне относительно поверхности S. Тогда функцию Грина (в 21.80) приближенно можно представить в виде г ехр (ikR — /ks • г') dG0 п д(— гк$ ¦ г')
~ ------4^-------- ---------------------
влении (0S, 0S) плоской волны, падающей в направлении (0/, 0) на шероховатую поверхность
? = ?(*, у)-
дп'
дп'
— /ко
NGo,
(21.81)
где N — единичный вектор нормали к поверхности и
ks — (k sin 0S cos fs) x -f- (k sin 0S sin fs) у (k cos 0S) z.
В (21.80) поле p(r') и его нормальная производная др(г')/дп' на поверхности неизвестны, и для их точного определения требуется решение граничной задачи. В предыдущих разделах описано такое решение с применением метода малых возмущений. В данном разделе для определения поля на поверхности используется приближение Кирхгофа. В приближении Кирхгофа поверхность предполагается локально плоской, а поле на ней считается
238
Глава 21
приближенно равным полю, которое существовало бы на плоскости, соприкасающейся с шероховатой поверхностью в рассматриваемой точке. Поэтому имеем
Р (г') = Pi (Г') (1 + Rf), = /к* • NPl (г') — і (кг • N) RfPt (г'),
(21.82)
где Rf — коэффициент отражения в точке г', вообще говоря, зависящий от угла падения 0< и нормали N. Если волна падает из среды с плотностью pi и скоростью звука сі на среду с плотностью р2 и скоростью звука с2, то коэффициент отражения Rf равен
m cos В,-я cos 9,
т tn cos 01 + п cos 02 v • /
где т = рг/рь п — ci/c2, а 01 — угол падения в точке г', равный углу между к,- и N. Угол 02— это угол преломления, определяемый соотношением
