Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(sin 0i)/(sin 02) = с,/с2. (21.84)
Подставляя (21.81) и (21.82) в (21.80), получаем
Р (г) = ‘ eX4nRR) S(v-N>-W-N)exp (iv ¦ г') ds', (21.85) s
где
v = кг — ks = vxx + vyy + vzz, w = k{ + ks = wxx + wy у + wz z, Vx — — k (sin 0S COS <!>s — sin 0(), Vy = — k sin 0* sill ф3, vz = — k(cos 0t + COS 0S),
wx — k (sin 0S COS ф8 + sin 0г), wy = k sin 0., sin ф8, wz = k (cos 0S — COS 0,-), V • r' = vxx' + vyy' + ог ? (X, y).
Формула (21.85) называется формулой Кирхгофа; она определяет рассеянное поле р(г) по падающему на поверхность 5 полю
МО-
Коэффициент отражения ^ определяется формулой (21.83) и в общем случае является функций х и у. Можно представить Rf в виде суммы коэффициента отражения гладкой поверхности Rf о и коэффициента отражения Rfr, отвечающего неровностям. В случае плавно неровной поверхности коэффициент Rfr должен быть малым по сравнению с Rf о, поэтому приближенно можно считать, что Rf равен Rf0:
•т cos 0. —- п cos 0.
Rf « Rfo = т cos Qi + n cos 0< • (21.86)
Рассеяние на шероховатой поверхности
239
где (sin 0/) / (sin 0/) = сх/сч. Заметим еще, что, поскольку ds'= == (dx' dy')/Nz, имеем
Подставляя (21.86) и (21.87) в (21.85), мы видим, что в (21.85) входит интеграл вида
Первое слагаемое представляет собой разность величины, стоящей в квадратных скобках, взятой при х' = х2, и той же величины при х' = х\, а второе слагаемое — интеграл по х'. Поэтому при увеличении размеров площадки 5 первое слагаемое должно становиться пренебрежимо малым по сравнению со вторым. Таким образом, приближенно имеем
^ dx' dy' -Ц-ехр(г'у • г') ^ —Нг. ^ dx' dy' ехр (iv • г'). (21.88а)
В случае плоской поверхности, когда v-r' = vxx' -f vyy', поле в зеркальном направлении (0S = 0/, <j>s = 0) равно
v • N ds' = (vxNx + vuNu + vzNz)
+ vz^dx' dy', (21.87) + к-’г) dx' dy'.
jj dx' jj dy' -^-exp (tv • r').
Интегрируя по частям по x', получаем
s
Подобным образом
s
^ dx' dy' -J^exp (iv ¦ r')
— \dx'dy'zxp(iv-Tr). (21.886)
VZ J
S
s
Используя (21.86) — (21.88), запишем (21.85) в виде
‘ F Ц ЄХР dx' dy'’ (21 -89)
s
Po (r) = (~ 2k cos 0,) Rfо 5 dx' dy'. (21.90)
s
240
Глава 21
Искомое поле р(г) = p(R, 0S, <f>s) выражается через зеркально отраженное поле po(r) — Po(R, 0г, 0) следующим образом:
p(R, 04. i>s) = Po(R, 9г> O)/(0if0s> fs)4r ^ exv(iv-r')dx' dy', (21.91)
s
где
f/o. a 1 + COS 0, cos 0^ - sin et. sin 0^ cos Ф3
IK it s> Ts) cos Q{ (cos 0; + cos 0s)
Это основное выражение для поля в приближении Кирхгофа.
21.10. Когерентное поле в приближении Кирхгофа
Пусть излучатель освещает шероховатую поверхность. Рассмотрим когерентное поле в зеркальном направлении (0S = 0,-, = 0). Замечая, что при этом в (21.91) / = 1 и vx — vy = 0, получаем
(p(R, 0,-, 0)) = Po(R, 0,-, 0)X(vz), (21.92)
где Po(R, 0«. 0) —поле, отраженное от плоской поверхности, а
x(Vz) — характеристическая функция случайной величины t,(x,y), определяемая выражением
X (vz) — <ехр (ivzt)), vz = — 2k cos 0г. (21.93)
Выражая x(vz) через функцию плотности вероятности U?o(?)>
имеем
оо
X(vz)= J exp(iv?)W0(Qd?. (21.94)
Если высота ? распределена нормально с дисперсией а2, то
г»,0"^ехр(_й> (21'95)
/ 2 2 \
х(vz) = exP (--J1) = ехр(— 2o2k2cos2d^. (21.96)
Обращаясь к разд. 21.1, находим, что когерентная мощность (21.3) равна
'ко_т_ _ _____ ^ ^ ^ Pf'/ (ог), (21.97)
где %{vz) определяется выражением (21.93).
Рассмотрим теперь когерентное поле в направлении (0S, fs). Усредняя (21.91), получаем
(Р)
Рассеяние на шероховатой поверхности
241
где vx, vy и иг даны в (21.85). Заметим, что величина в квадратных скобках в (21.98)—это поле, рассеянное плоской поверхностью, так что среднее поле равно полю, рассеянному плоской поверхностью, умноженному на %{vz).
21.11. Сечение рассеяния единичной площадки шероховатой поверхности
Рассмотрим теперь некогерентное (диффузное) поле. Сечение рассеяния единичной площадки определяется формулой
— {p)f)' (21.99)
Используя (21.90), (21.91) и (21.98), получаем
:os2 0 ,
______L D2
я Kf0
k2 cos2 0.
<7 =------(21.100)
/ = dx' dy' dx" dy"exp [ivx (x' — x") -f ivy (у' — у")] X s s
X [%2 (vz, —Vz) — \x (Vz) I2] =
= \jdxd\jdydexv{ivxxd + ivyyd)[y>2{v;i, — vz) — \% (vz) |2], (21.101)
где ха = x' — x" и yd = у' — у''. Через %2(v\, v2) обозначена двумерная характеристическая функция высоты
%{vi, v2) = (exp(ivlZi + iv2U)). (21.102)
В предположении, что поверхность статистически однородна и изотропна, %{v\, v2) зависит только от + у^)'1г.
Если высоты поверхности распределены по нормальному закону, то совместная плотность вероятности имеет вид
<2,Л03)
где Стц — дисперсия, а С = С(р) —коэффициент корреляции высот на расстоянии р = + у2йУ>2:
(^(xv ух)^(х2, y2)) = olC(v). (21.104)
В этом случае двумерная характеристическая функция (21.102) принимает вид
г (г>1. V2) = $ dCi ^ d&Wo (St, t,2) ехр (iw^ -f iv?2),
%(Vz> — аг) = ехР{— Vz°oll — C(p)]}- (21.105)
242
Глава 21
Предполагая, что распределение нормально, имеем х2 (Vz< - Vz) - I X (»*) I2 = ехр {- v\o\ [1 - С (р)]} - ехр (— V2zol).
(21.106)
В случае слабой шероховатости поверхности выражение (21.106) принимает вид [ехр (—(р). Подставляя это выражение в (21.100) и (21.101) и используя определение (21.51) функции W (р, qY), получаем
