Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
21.2. Первое приближение метода малых возмущений (горизонтальная поляризация падающей волны)
В разд. 21.1 мы отметили, что при исследовании рассеяния на шероховатой поверхности центральной задачей является нахождение сечения рассеяния единичной площадки шероховатой поверхности. В данном разделе мы дадим вывод выражения для сечения рассеяния на основе метода малых возмущений. Этот метод применим для описания слабошероховатых поверхностей, характерные особенности которых перечислены ниже.
Пусть высота неровностей поверхности задается уравнением
z = l(x, у). (21.9а)
220
Глава 21
Выберем плоскость 2 — 0 так, чтобы уравнение (21.9а) описывало отклонение от средней высоты:
(Ux,y)) = 0. (21.96)
Тогда метод малых возмущений оказывается применимым, если разность фаз, обусловленная вариациями высот, мала по сравнению с 2зх, а наклоны поверхности много меньше единицы. Математически эти условия можно записать в следующем виде:
|fcecose,|«l, (21.10а)
дх
< 1,
ду
< 1.
(21.106)
Рассмотрим сначала небольшой участок AS шероховатой поверхности. Пусть участок AS представляет собой квадрат со сто-
Рис. 21.4. Участок шероховатой поверхности AS размера L. Высота поверхности равна ? (х, у).
роной L (рис. 21.4). Предположим, что падающая волна поляризована в горизонтальном направлении и плоскость падения совпадает с плоскостью xz. Предположим также, что шероховатая поверхность является идеально проводящей.
В этом случае падающая волна имеет только одну компоненту
Eyi (х, z) — ехр (фх — iyz), (21.11)
где р = k sin 0,- и у = k cos в/. Если бы поверхность была гладкой, то отраженная волна имела бы вид
Еуг (х, z) = — ехр [фх -f iyz). (21.12)
При отражении от шероховатой поверхности полное поле представляет собой сумму выражений (21.11) и (21.12) плюс еще
Рассеяние на шероховатой поверхности
221
поле волны, рассеянной на шероховатой поверхности. Поскольку площадь рассматриваемого участка поверхности равна L2, рассеянное поле всегда можно представить в виде двойного ряда Фурье по х и у с периодом разложения L:
Еу(х, z) = Eyi(x, z) + Eyr{x, z) + Eys{x, z), (21.13а)
Eys (х, z) = Yj Z BmnE (v + m, n; z), (21.136)
m n
?(v + m, n\ z) — exp [/ (2n/L) (v + m) x + і (2n/L) ny +
+ ib (m + v, n) z], P = k sin 0,- = (2л/L) v. (21.13b)
Поскольку Ey удовлетворяет волновому уравнению, функция b(m + v, п) должна удовлетворять уравнению
[(2n/L) (v + т)]2 + (2nn/Lf + [b(m + v, n)f = k2. (21.14)
Ряд Фурье (21.136)— (21.13в) называется разложением по пространственным гармоникам.
Заметим, что в (21.1 Зв) содержится множитель ехр(ibz) характеризующий волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z, но нет множителя ехр(—ibz), описывающего волну, распространяющуюся в обратном направлении. Строго говоря, выражение (21.13в) не совсем верно, так как в области между максимумами и минимумами шероховатой поверхности рассеянное поле должно складываться из волн, бегущих как в направлении -\-z, так и в направлении —2. Поэтому в точном решении должно присутствовать дополнительное слагаемое, пропорциональное ехр(—ibz). Численные исследования показывают
[127], однако, что выражение (21.1 Зв) дает хорошее приближение, если только наклоны поверхности не превышают значения порядка 0,4. В практических задачах это условие обычно выполняется. Предположение, что рассеянное поле можно разложить только по волнам вида (21.23в), бегущим в положительном направлении z, называется гипотезой Рэлея.
Остальные компоненты рассеянного поля имеют вид
Ех(х, z)=YiYi AmnE(v + m, п\ z), (21.15)
т п
Ег(х, г)— Yj Z CmnE(v + т, п\ z). (21.16)
т п
Атп, Втп и Стп следует рассматривать как неопределенные коэффициенты. Если какие-либо два из них известны, то третий коэффициент можно найти из уравнения V-E = 0:
(2л/L) (v + т) Атп + (2nn/L) Втп + b(v-\-m, п) Стп = 0. (21.17)
222
Глава 21
Рассмотрим граничные условия. Обозначим через N единичный вектор нормали к поверхности. Тогда тангенциальная компонента поля Е определяется выражением
Е* = Е — N (Е • N). (21.18)
Поэтому граничное условие Е* = 0 на поверхности дается двумя уравнениями, получающимися в результате приравнивания нулю х- и у-компонент (21.18):
Ex-Nx( E-N) = 0, (21.19а)
Еу - Ny (Е • N) = 0. (21.196)
Уравнение для г-компоненты (21.18) является линейной комбинацией уравнений (21.19а) и (21.196). Это следует из условия Ег N = 0.
Единичный вектор нормали N связан с уравнением поверхности t,(x, у) соотношениями
<Э I N х <Э? Nu
= (21-20)
Замечая, что N-N = 1, получаем
М'+(§Г+(і)!Ґ[-ІН-?у+Ч-
Теперь мы получили общие выражения для полей (21.13),
(21.15) и (21.16) с неопределенными коэффициентами А тп> $тп и С тп и граничные условия (21.19а) и (21.196). Найти аналитическое решение, используя эти граничные условия, вообще говоря, не удается. Однако в первом приближении метода малых возмущений можно получить простое решение.
При использовании метода малых возмущений решение получается в результате приравнивания всех членов первого порядка по степеням малого параметра є. Этим параметром может служить высота неровностей поверхности, измеренная в длинах волн, или наклон поверхности:
