Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
предельного перехода получим / (х) = ^ [(L/2n) с (п)] етх dw, (LI2n) с (п) =
— ОО
ОО
= (2я)“1 ^
2В0
Глава 21
Переход от суммирования к интегрированию возможен в связи с тем, что размер L во много раз превосходит радиус корреляции. Спектральная плотность W(p,q)—вещественная положительная функция р и q, а поскольку ?—тоже вещественная функция, то W(p,q) является четной функцией р и q. Обращая
(21.50), находим
где хй = хх — х2 и yd = yі — г/2-
Как видно из соотношения (21.50), корреляционная функция зависит только от разностей xd и yd, так что при выполнении предположения (21.48а) шероховатая поверхность оказывается статистически однородной. Отметим, что (21.48а) эквивалентно спектральному представлению однородной случайной функции (см. приложение А). Физический смысл спектральной плотности W(р, q) следующий: W(p, q)dpdq есть количество спектральных компонент шероховатой поверхности с пространственными волновыми числами от р до р + dp в направлении х и от q до q + dq в направлении у.
21.5. Бистатическое сечение рассеяния шероховатой поверхности
Рассчитаем сечение рассеяния (21.46) в случае падения волны с горизонтальной поляризацией, используя приведенное в предыдущем разделе статистическое описание шероховатой поверхности. Подставим Es и Hs из (21.40) в (21.44) и выразим параметры /е и Iф в виде рядов Фурье, содержащих множители Р(т, п). Учитывая, что в выражения для Esx, Esy, Hsx и Hsy всегда входят комбинации Р(т, n)E(v + m, п\ г), можно записать
р' = -j- (v + т) — k sin 0S cos fs, q' — n — k sin 0S sin <j>s,
/e = — [ex cos Фе + ey sin ф3] + (hx sin ф, — hy cos Фе) COS 0S>
ЇФ = (ex sin фє — ey cos ф3) cos 0S + (hx cos ф3 + hy sin </>s),
л(1) nd) D0) Ы1)
лт/і mra i ^mn * ^mn
ex — P (m, n) * ev — P (m, n) • Пх ~ P {jn, n) * ny — p (m, n) •
oo
w (p, q) = -^r 5 dxd ^ dyd(Z(xu yl)Z(x2, y2))exp(—ipxd-—iqyd),
— oo
— oo
(21.51)
P (m, n) exp (ip'x' + iq'y'),
(21.52)
где , 2я
Рассеяние на шероховатой поверхности
231
Рассмотрим теперь величину (A/J,)- Используя (21.48а), получаем
</*/;> = S dx' \ dy' \ dx" \ dy" ? ? | (п. п) р X
т п
х(^)ЧГ О^Г1, ^Г-)ехР(ip'Xd + iq'ya), (21.53)
где Ха — х' — х" И Уй = у' — у"- Отметим, что jj dx' jj dx" = ^ dxd ^ dxc,
где xc = j (x' + x") и Ус — \ (у' + у")- Отметим также, что
^ ехр (iKxd) dxd-> 2лб (К) при L-> оо.
Переходя от двойной суммы в (21.53) к интегралам, находим </*/;> = D J dp \dq\ їФ{р, q)f\w{p,q)C2n)4{p')b{q'), (21.54)
где
2 пт 2я п п , ¦ п 2л
Р = -[- ’ Я — ~Т~’ Р — «Sin0i = —V,
р' = р + р — k sin 0S cos <l>s, q' = q — k sin 0S sin j>s-
Вычисляя интегралы в (21.54) и подставляя результат в (21.46), получаем
oTT = ]!j-\U{p,q)?W{p,q), (21.55)
где
р = k sin 0S cos j>s — k sin 0?-, q = k sin 0S sin j>s. (2.1.56) Аналогично имеем
<yBT = ^-\k(p, q)\2W(p, q). (21.57)
В случае падающей волны с вертикальной поляризацией в формуле (21.44) нужно использовать поля (21.41). В результате найдем
^ = ~\f,(P,q)fW(p, q), (21.58)
<*вв = 1 /0 (р, Я) ? w (р, Я)- (21.59)
Выражения для /е и fф легко найти из формул (21.52). Например, в случае горизонтально поляризованной падающей волны
f* = (ех sin ф3 — еу cos ф5) cos 0S + (hx cos i>s + hy sin i>s). (21.60)
232
Глава 21
Из (21.33), (21.37) и (21.406) получаем
ех = 0. ey = — 2iy, Л*=(§?-)(<72 + &2)> Л9 = (— -||-)<7(р + Р),
(21.61)
где у = ^ cos 0,-, (3 = 6 sin 0;, p+|S=& sin 0S cos ф3, q = k sin 9S sin фя и b = kcosQs. Подставляя (21.61) в (21.60), находим
f ф = 4t&cos 01 cos Qs cos ф3. (21.62)
Таким образом, в соответствии с (21.55) имеем
агг = 4л?4 cos2 0і cos2 0S cos2 ф3W (p, q). (21.63)
Аналогично получим
авг = 4л?4 cos2 0?- sin2 ф3W (р, q),
агв = 4nk4 cos2 0S sin2 ф3'№ (p, q), (21.64)
авв = 4л?4 (sin 0,- sin 0S — cos <j>s)2 W (p, q),
где спектр W(p, q) вычисляется при p = k sin 0S cos фя — k sin 0,-,
q — k sin 0S sin фз.
В случае обратного рассеяния (0S = 0,-, фа = л) имеем
агг = 4л?4 cos4 (— 2k sin 0г, 0), авг = 0, агв = 0,
<7вв = 4я64(1 + sin2 0,)2 W (— 2k sin 0,-, 0). (21-65)
Физический смысл (21.65) состоит в том, что интенсивность обратного рассеяния пропорциональна величине спектральной компоненты шероховатой поверхности, отвечающей волновому числу р = —2k sin 0,-. Это означает, что рассеяние в обратном направлении происходит на спектральной компоненте с таким периодом d в направлении х, что
р — 2л/d — — 2k sin 0г. (21.66)
Это означает также, что разность фаз между двумя лучами, падающими на поверхность на расстоянии d друг от друга, равна 2л (рис. 21.6). Аналогично этому в общем случае соотношения
р — k sin 05 cos ф3 — k sin 0ь q = k sin Qs sin ф3
означают, что рассеяние происходит на тех спектральных компонентах, для которых периоды di (вдоль оси х) и di (вдоль оси
Рис. 21.6. Обратное рассеяние обусловлено той компонентой пространственного спектра, период d которой удовлетворяет условию 2d sin 0t- = X, где к — длина волны.
Рассеяние на шероховатой поверхности
233
у) таковы, что разность фаз между двумя лучами, приходящими на поверхность на расстояниях dx и d2 и рассеиваемыми в направлении (05, fs), равна 2л. Это соотношение совпадает с условием Брэгга для дифракции рентгеновских лучей на кристалле.
