Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
в~|Л?|~ -Й- ~ §г • (21-22)
Разлагая N в (21.21) в ряд по степеням є, получаем
Л^ = --§+0(е3), Ny = —+ О (є3), Nz=l + 0(є2). (21.23)
Используя (21.23), разложим граничные условия (21.19а) и
(21.196) по степеням є и сохраним члены низшего порядка:
Ех + %-Ег=*0, (21.24а)
Еу + ^Ег = 0. (21.246)
Рассеяние на шероховатой поверхности
223
Из (21.16) следует, что в случае горизонтальной поляризации падающей волны для гладкой поверхности (kt, 0) Ez обращается в нуль, так что порядок Ez не ниже є. Тогда из (21.24) следует
Ez ~ е, Ех ~ е2, Еу ~ є2. (21.25)
В случае вертикальной поляризации ?г-»- const для гладкой поверхности (&?->0), так что из (21.24) получаем
Ez ^ const, Ех~є, Еу~г. (21.26)
Рассмотрим теперь выражения (21.13), (21.15) и (21.16) для Ех, Еу и Ez. На поверхности z — %(х, у) функцию E(v -f- т, п; z) можно разложить в ряд по степеням є:
E(v + m, п; ?) = ?(v-f т, п\ 0)(1 +ib?+ ...). (21.27)
Коэффициенты Атп, Втп и Стп также разложим в ряды по степеням є:
Лтп==Лтп + Лтп+ •••> (21.28)
где Атп порядка Є, Атп порядка Є2 и т. д. Разложения Втп и Стп по степеням є имеют аналогичный вид. Заметим, что при переходе к гладкой поверхности (?-»-0) все пространственные гармоники обращаются в нуль, так что коэффициенты Атп, Втп и Стп порядка є или выше.
Используя приведенные разложения, запишем общие выражения для Ех, Еу и Ez на поверхности z = %(х, у) в виде рядов по степеням е:
?,= ЕЕ№ + ^>+ ...]?(v + m, п; 0)(1+»?+ ...),
т п
(21.29)
Ey = 2i№+ ...)em +
+ 'L'L[B(mn + B2+ ...]f(v + m,n;0)(l+^S+ ...), (21.30)
m n
Я2 = E E \c\nti + C{mn -J- ... ] E (v -f- m, n; 0) (1 -f- ibt, -f- ...).
m n
(21.31)
Подставляя (21.29) и (21.31) в (21.24a) и приравнивая нулю коэффициенты при первой степени є, получаем
? Е AZE (v + m, п\ 0) = 0. (21.32)
m п
224
Глава 21
Поскольку выражение (21.32) представляет собой ряд Фурье по х и у, все входящие в него коэффициенты должны обращаться в нуль:
AZ = о. (21.33)
Аналогично можно приравнять нулю коэффициенты при вторых степенях е и получить соотношение для коэффициентов второго
порядка [16, 18, 357—359]. Однако нас интересует только реше-
ние в первом порядке, и мы не будем заниматься подробным анализом решений второго и более высоких порядков.
Подставим далее (21.30) и (21.31) в (21.246). В результате найдем следующее соотношение между ВЫСОТОЙ ? И Втп-
2іу?ефх + Z Z BmnE (v + т, П) 0) = 0. (21.34)
т п
Разложим теперь высоту поверхности ? = ?(лг, у) в двойной ряд Фурье:
?(*> У) = ^ТиР(т’ п)ехр{1 + уУ (21.35)
т п
Тогда первое слагаемое в (21.34) примет вид
2іу?еі®х = 2іу X X Р (т> n)E(v + m, щ 0). (21.36)
т п
Подставляя (21.36) в (21.34), получаем
В та = — 2суР (т, п). (21.37)
Используя (21.17), находим
cZ=-)-l-n--P(m,n). (21.38)
Таким образом, решение в первом порядке метода малых возмущений имеет вид
Е = Е* + Er + Es, Н = Н,-+ Hr + Hs, (21.39)
где Е; и Н; — поля падающей волны, Е,и Н, — поля отраженной от гладкой поверхности волны, а поля Es и Hs описывают влияние шероховатой поверхности:
Ely + Ery = 2t sin уге^х, Esx = 0,
ESg = S Z BmnE (v + m, n\ 2), (21.40a)
m n
4=1 E CmnE (v + m, n; z).
Рассеяние на шероховатой поверхности
225
Соотношения для компонент магнитного поля получаются из уравнения Максвелла V X Е = ico^oH и (21.40а):
д/-g- (Н1х + нгх) = - 2ycoksyz e«-3.v,
^(Hiz + Hrz)=Wf^e^,
д/-^Я5, = J] ^D^?(v + m, и; z), (21.406)
m n
V^r H*y= Z Z
m n
я«=Z Z(v+m> re; 2)>
m rc
где
»1=(?)|(т)' + *')р(*’"1
= - (-^) [-^ (v + m)] P (m, n).
Уравнения (21.39) и (21.40) дают в первом порядке метода малых возмущений полное решение для поля, рассеянного шероховатой поверхностью при падении на нее горизонтально поляризованной волны. Высота неровностей поверхности описывается двойным рядом Фурье (21.35) с коэффициентами Р(т, п).
В случае вертикально поляризованной падающей волны описанная процедура приводит к следующему результату:
Eix + Егх — — 2і cos в? sin уzeipx,
Eiz + Erz = 2 sin 9j cos yze®*,
Esx=Yj Z Amn E(v + m, n\ z), Esy=Yu S BmnE (v + m, n; z),
m n m n
?Sz= Z Z CmnE (v + m, n; z), (21.41)
m n
^/-^(Hiy + Hry) = -2cosyz,
д/77 H*x = Z Z
m n
V-?L//-=ZZ^(v + m>»; *>¦
m n
Vs-^-zz f™e (v+m> n’z)’
226
Глава 21
где
Атп = 2І Іk COS2 0,- — (-^p-) Sin 0; j P {til, П.), B%n = - 2і sin QtP (m, n),
/о(1) _ 1 Г 2n{v + m) Л (1) I 2n« „(1)1
^m/i—- ^ ^ г ^ °/nn I *
nii) _ 1 |Y 2яга_ \ „(і) (l) I
^mn—I ^ J ^ mn UDmn h
p(i) _ 1 Гл л*1' 2ltm r*(D 1
Lmn— ? 1^ vrm ^ і
Є = ![(^) вї, _(ІЇ2.)<„].
Заметам, что приведенное решение справедливо не только для шероховатой поверхности, но и для любой детерминированной поверхности с периодом L.
21.3. Сечение рассеяния единичной площадки в первом приближении метода малых возмущений
В предыдущем разделе мы получили в первом приближении метода малых возмущений выражение для поля над участком
AS = L2 шероховатой поверхности. Это поле порождает рассеянные во всех направлениях волны. Рассмотрим поле в направлении (0S, ф3) на расстоянии R от этого участка поверхности (рис. 21.5). Выберем R так, чтобы точка наблюдения находилась в дальней зоне площадки AS:
