Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Es (t2) = ¦ exp [ik (1 - 0) • г2 + ikRol, (4.40)
96
Глава 4
где г2 - положение частицы в момент времени ^2=П2- Положения
частицы п и г2 связаны с ее скоростью и моментами времени /[ и /ф
*1
г 1 г2 = J V dt, (4.41)
^2
где скорость V, вообще говоря, зависит от времени: V = V(/). Однако в
большинстве встречающихся на практике случаев скорость V можно
считать постоянной в пределах интервала временной корреляции поля.
Заметим также, что
(4.42)
Поскольку Ri - R2 порядка V (/(- /'), последнее слагаемое в
(4.42) при V "С с пренебрежимо мало,
и приближенно можно
положить
- - (4.43)
Поэтому (4.41) приближенно можно представить в 'более удобном виде
П - r2 = Vt, x = tl - t2. (4.44)
Определим теперь дифференциальное сечение рассеяния с учетом
временной корреляции ст^ (0, i, т) посредством соотношения
0d (0, 1, т) = lim (Rl (Е, (<,) ЕГ, (<2))]. (4.45)
R о->о°
Используя (4.39), (4.40) и (4.44), получаем
od (0, i, т) = ad (0, i) (exp (/ks • Vt)), ks = k (1 - 0), (4.46)
где Od(0, i)-дифференциальное сечение рассеяния неподвижной
частицы (V = 0).
Вообще говоря, скорость V частицы складывается из средней
скорости <V> = U и флуктуационной скорости V/:
V = (V) + Vf = U + Vf, (4.47)
так что (4.46) можно представить в следующем виде:
сrd (0, Т, т) = ad (0, i) x(kst) exp (iks • Ut). (4.48)
Здесь %(kst)-характеристическая функция флуктуаций скорости
X (М) =* (exp (tks • V4т)). (4.49)
Рассеяние волн в разреженных облаках частиц
97
Выражение (4.48) представляет собой фундаментальное выражение
для дифференциального сечения рассеяния движущейся без вращения
частицы с учетом временной корреляции. Если частица вращается вокруг
своего центра тяжести, то нужно проводить дополнительное усреднение
по вращательному движению. Обозначив такое среднее через <ad(6, i))г,
получим вместо
Рис. 4.5. Доплеровский сдвиг ча
стоты (4.54), обусловленный движе
нием частицы.
(4.48) следующее выражение для сечения рассеяния с учетом временной
корреляции:
Gd (О, Е т) = (od (0, i ))r % (ksx) exp (/ks • Ut). (4.50)
Тогда частотный спектр Wa(0, i, т) этого сечения в соответствии с
(4.33) будет равен
оо
Wa (б, i, со) = 2 ^ crd (0, i, х)ешйх. (4.51)
- оо
Рассмотрим пример. Если частица движется с постоянной скоростью
U (Vf = 0) без вращения, то
Gd (б, i. т) = od (б, i) exp (/ks • Ut), (4.52)
Wa (0, i, <") = 2od (0, Г) б (со + k, • U). (4.53)
Вспоминая, что ks = ft(i - 0) и ft = oo0/c, видим, что из (4.53) следует
формула для доплеровского сдвига частоты (рис. 4.5)
co/coQ= - (i - 6) • (U/с). (4.54)
Напомним, что в (4.51) через и обозначено отклонение частоты от
несущей частоты оо0, так что частота рассеянной волны определяется
выражением
со + coo = co0[l - (Г - 0) • (U/c). (4.55)
Доплеровский сдвиг (4.54) можно представить также в виде
оо/соо = - 2 sin (0/2) (Ud/c), (4.56''
98
Глава 4
где Uа - компонента скорости U в направлении is = i - 0.
Если флуктуации скорости Vf распределены по нормальному
закону с дисперсией crjr каждой из ортогональных компонент,
то, используя функцию плотности вероятности
Р (vf) = (2Jtcj2)~3/'2ёхр (- у2/2ог2), (4.57)
получаем
% (к5т) = ехр (- &2о|т2/2). (4.58)
Тогда частотный спектр Wa будет иметь вид
г0 (0, с со) = 2ad (б, Т) [2n/kja^ ехр [- (со + ks • 14)7(2^)].
(4.59)
Эта формула дает явное описание уширения спектра, обусловленного
флуктуациями скорости, и доплеровского сдвига частоты (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Доплеровский сдвиг - ks • U и уширение спектра Дсо = | 2ks а ^ |.
Рассмотрим теперь случай вращающейся частицы (4.50). Примером
может служить доплеровский сдвиг, обусловленный вращательным
движением молекулы полимера [16, 118]. Предположим, что частица
представляет собой тонкий стержень, направление оси которого задается
единичным вектором s и непрерывно меняется во времени. Сечение
рассеяния тогда является функцией б, i и s. Полагая, что вектор s в
моменты времени t\ и t2 принимает значения Si и s2 соответственно,
запишем
ОЦ = РЛ0, Г, SI; S2). (4.60)
Обозначим через p2(s2)ds2 вероятность того, что в момент времени t2
вектор s ориентирован в пределах телесного угла ds2 около направления
s2, а через рi(si, s2)dsi- условную вероятность того, что в момент
времени t\ он ориентирован в телес
Рассеяние волн в разреженных облаках частиц
99
ном угле ds\ около направления si при условии, что в момент времени t2
он был ориентирован в направлении s2. Тогда получим
(ad\ = ^ S °d ^ Pl ^Sb P2 ^ dSl d*2- ^4-61^
Мы здесь не будем вдаваться в подробности расчета р\ и р2 для
частных случаев. Отметим лишь, что общая формула (4.61) может быть
использована при анализе влияния наклонного падения дождевых капель
на распространение СВЧ излучения и при анализе рассеяния света на
полимерах. Отметим также, что при полностью хаотической ориентации
частиц р\ = р2~ = 1/4я и (4.61) сводится к случаю, рассмотренному в
примере "в" раздела 2.6.
В этом разделе мы обсудили эффекты, вызываемые движением
