Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
отдельной частицы. Вообще говоря, необходимо учитывать
взаимодействие частиц, и статистическое усреднение, которое мы
проводили в данном разделе, должно учитывать совместную плотность
вероятности, т. е. вероятность того, что одна частица в момент времени
t2 находится в точке г2, а другая в момент времени t\ находится в точке
щ. Поскольку решение этой задачи дает мало полезной информации при
существенном усложнении математических выкладок, мы не
рассматриваем здесь этот вопрос [118, 119].
J
4.6. Временная корреляционная функция и
частотный спектр рассеянного поля 0
f
Временную корреляционную функцию рассеянного поля легко найти,
зная сечение рассеяния с учетом временной корреляции, о котором шла
речь в предыдущем разделе. Мы предполагаем, что корреляция полей,
рассеянных различными частицами, пренебрежимо мала, так что можно
просто суммировать вклады отдельных частиц. Такой подход должен
привести к простому обобщению соотношения (4.9). Обозначая через
V{t) выходное напряжение приемника, пропорциональное рассеянному
полю Es(t), для корреляционной функции Bv(т) имеем
By (г) = (V (/]) Г(/2)) =
= с S Я 21^/* раы т) ехр Yl - Y2) dV> (4.62)
J (4Я) RXR2
где r = ti - t2, c = <V2}/(Pr-Pt), а аьг(б, T, т) = 4гах(*(0, i, т) и
определяется формулой (4.48) или (4.50).
•) Измерения энергетических спектров описаны в работе [18].
10Э
Глава 4
Частотный спектр \#V(a>) выходного напряжения К(/) дается
выражением (4.62) с заменой оы на 4яИ70(б, i, со), где Wa определяется
формулой (4.51).
В (4.62) легко учесть влияние распределения частиц по размерам;
для этого достаточно воспользоваться формулами, аналогичными (4.11).
При этом для оптических путей yi и у2 можно по-прежнему использовать
выражение (4.11а). Что же касается величины роы, то для расчета
необходимо дополнительно учесть тот факт, что частицы разного
размера могут перемещаться с разными скоростями. Такое явление
определенно имеет место в дожде, установившиеся скорости капель
которого зависят от их диаметра. Поэтому следует принять
где должна учитываться зависимость скорости частицы от ее размера D.
В качестве примера рассмотрим бистатическое рассеяние на дожде в
случае, когда излучатель и приемник обладают узкими диаграммами
направленности и справедлива формула (4.16). Имеем
Выбрав ось z в вертикальном направлении, запишем установившуюся
скорость дождевой капли диаметра D в виде
оо
Р<<*ьг)= 5 n{D)abl{Q, i, т, D)dD,
(4.63)
О
Р (<Уы (Оо, "о, т)> ехр (у, - у2) Vе. (4.64)
U = -U(D) г.
(4.65)
Тогда из (4.52) имеем
оо
Р(оы) =\ n{D) оы (О, Т, D) ехр(- Zks • zU (D) т) dD. (4.66)
О
При этом частотный спектр определяется равенством
00
р (4nWa (О, Т, со)) = 2 ^ п (D) аЬ( (б, i, D) б [со - ks • zU (Z))] dD,
О
(4.67)
интеграл в котором можно вычислить, используя формулу [162]
*[fwi-ET§Sr' <4-68>
Рассеяние волн в разреженных облаках частиц
101
где через хп обозначены корни функции f(x). В результате получим
p(Wo|0, "°I. (4.69)
|k* -zdU/dD \D-mDt
где Do удовлетворяет уравнению со = kszU(D0) .
Из выражения (4.69) следует, что спектр на некоторой частоте со
прямо пропорционален распределению частиц по размерам n{D) при D =
Do, поэтому измерения спектра можно использовать для нахождения
распределения частиц по размерам n(D) при условии, что известны
скорости V(D) частиц и их бистатическое сечение рассеяния Ойг(0, i,
D).
4.7. Пространственная корреляция рассеянного поля
Корреляция значений рассеянного поля в двух различных точках
важна для анализа реверберации звука в океане [115]. В данном разделе
мы рассмотрим этот вопрос на примере, геометрия которого изображена
на рис. 4.7, где показан излучатель, освещающий случайную среду, и два
приемника, расположенные в точках Pi (d/2, 0, 0) и Р2(-d/2, 0, 0).
Задача состоит в определении корреляции сигналов в точках Pi и Р2.
Рассмотрим поле, рассеянное элементом объема dV, окружающим
точку (Р2, 0, ф). Разность фаз поля в точках Pi и Р2 равна ф = k {Ri -
R'O- Предполагая, что объем dV достаточно удален от приемника,
приближенно можно написать
ф = k (Рг - Рг) =" - kd (0 • х) = kd sin 0 cos ф. (4.70)
Тогда пространственная корреляционная функция напряжений V\ и
К2 в точках Р\ и Р2 принимает вид
(VlVt2) = c ^ (6. 0 exp (- Yi - V2 + *'Ф) dV, (4.71)
Если излучатель расположен в начале координат (рис. 4.7), то i = - 0 и
(ViVl) = c J <*ьexp [- yi - V2 + ikd(\-x))dV. (4.72)
Отметим, что dV = R2dR dQ, где dQ - элемент телесного угла, так что
при заданном расстоянии R корреляционная функция {V1V2)
пропорциональна фурье-образу от G<(T)Gr(-I) рсгь по угловой
координате с ядром преобразования ехр[/Ы(Ьх)].
102
Глава 4
Указанную связь корреляционной функции с диаграм-
мами направленности антенн G*(i), Gr(-i), основанную на пре-
образовании Фурье, можно сравнить с аналогичной связью ме- жду
функцией взаимной когерентности и распределением в пространстве
некогерентных источников [21]. По существу, случайные частицы,
