Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
приближении теории многократного рассеяния. При этом мы учтем
влияние движения частиц в предположении, что скорости рассеивателей
малы по сравнению со скоростью распространения волны. Кроме того,
мы будем считать, что ширина полосы импульса мала по сравнению с
несущей частотой. Эти предположения справедливы для большинства
практических приложений. В гл. 15 и 20 рассматриваются более
сложные задачи, относящиеся к сильным флуктуациям импульсного
излучения, обусловленным многократным рассеянием, а также к
распространению и рассеянию широкополосных импульсов.
5.1. Общая формулировка
проблемы распространения и рассеяния
импульсов в нестационарной случайной среде
Рассмотрим линейную случайную среду, которая может быть
нестационарной и диспергирующей. Примером такой среды может
служить случайное облако движущихся рассеивателей. Характеристики
распространения и рассеяния импульса в такой среде удобно описывать,
используя двухчастотную функцию взаимной когерентности. Такое
представление позволяет также
Рассеяние импульсных волн в случайном облаке частиц
109
выяснить смысл таких понятий, как полоса когерентности и время
когерентности. В данном разделе мы рассмотрим эти общие понятия и
представления [13, 73, 85, 175].
Рассмотрим поле Оо(0 в приемнике, отвечающее входному импульсу
Vi{t), излучаемому передатчиком. Функции ао(0 и Vi{t) являются
вещественными функциями времени. Обычно входной импульс Vi(t)
представляет собой заданную функцию времени. Однако в некоторых
приложениях в качестве входного сигнала используются шум или
случайный сигнал, так что Vi(t) может быть и случайной функцией
времени. Поскольку среда нестационарна и линейна, в общем случае
можно записать
t
Vo(t)= 5 Vt(l')h(l, t')df, (5.1)
- оо
где h(t, t') - импульсный отклик приемника в момент времени t на
входной импульс передатчика, излучаемый в момент времени t'.
Заметим, что если Vi{t) = 8(t - t'), то Vo{t) =h(t, t').
Импульсный отклик h{t, t'), вообще говоря, является вещественной
функцией двух переменных t и t'. Только в случае стационарной среды h
становится функцией разности t - t'. Импульсный отклик h является
характеристикой случайной среды и поэтому представляет собой
случайную функцию времени.
Запишем функцию Vi(t) в виде интеграла Фурье1) через ее спектр Vi
(и):
со
Vi{t)= 5 tM(r))e-'a<dco. (5.2)
- со
Подставляя это выражение в (5.1), получаем
со
Vo (0- ^ Vi (и) Я (со, t) е~ш da, (5.3)
- со
где Я(оо, i) определяется выражением
оо
Я (со, 0 = 5 h (l, I - о еш dt'. (5.4)
о
Поскольку Vo(t) и Vi(t) - вещественные функции временя, имеем
Vi (со) = V\ (- со), Я (со, /) = Я* (- со, /). (5.5)
*) Это возможно только для детерминированных vi(t). О спектральном
представлении случайных функций см. [155].
110
Г лава 5
Чтобы понять физический смысл функции Я (со, t), положим Vi ({) =
cos со0/ = Re [ехр (- /а0/)]. (5.6)
Тогда получим
VQ (() = Re[H (<з0, t) ехр (- mQ()]. (5.7)
Поэтому функция Я (со, /) ехр (-ко/) представляет собой выходной сигнал в том случае, когда на входе действует гармониче
ская функция времени ехр(-iat). Функция Я(м, t), вообще говоря,
является комплексной случайной функцией со и t и называется
нестационарной функцией передачи. Заметим, что если среда
стационарна, то функция Я не зависит от времени.
Во многих практических задачах входной импульс представляет
собой модулированный сигнал с несущей частотой <в0, который может
быть записан в виде
vt (I) - Re [tii (t) exp (- ш00]. (5.8)
где fо = соо/2я - несущая частота. Функция Ui(t) комплексна и
называется комплексной огибающей сигнала щ. Мы можем также
записать
и, (i) = Ai (/) ехр [ij>i (/)], (5.9)
где Ai и <pi - меняющиеся во времени амплитуда и фаза соот-
ветственно. Для узкополосного входного импульса Ai и являются
медленно меняющимися функциями времени.
Выходной импульс Vo(t) может быть представлен в аналогичном
виде
о0 W = Re ["о (/) ехр (- ш0/)], щ (/) = А0 (/) ехр [г^0 (01. (5.10)
где "о - комплексная огибающая выходного импульса, а Л0 и фо -
меняющиеся во времени амплитуда и фаза соответственно.
Запишем теперь общее соотношение (5.3) через комплексные
огибающие. Представим комплексную огибающую входного сигнала
Ui(t) через ее спектр ?/"•(со) в виде интеграла Фурье
00
и{{()= J U{(a)e-{aida. (5.11)
- оо
Тогда спектр входного сигнала F"((c)) для Vi(t) дается выражением
F, ((c)) = у [Ui (со - (c)о) + ?/[(-(c) - (c)о)]. (5.12)
Подставляя выражение (5.12) в формулу (5.3) и используя соотношения
(5.5), можно представить vQ(l) в виде (5.10) с функ
Рассеяние импульсных волн в случайном облаке частиц
111
цией и0((), определяемой выражением
оо
"о(0= ^ Ui (ш) Н (со0 + со, 1)е~ш da. (5.13)
- оо
Это общее выражение связывает комплексную огибающую выходного
сигнала u0(t) со спектром t/,-(со) комплексной огибающей входного
сигнала ",(/).
Флуктуационные свойства выходного импульса часто описывают при
