Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вторая возможность дает 'другие уравнения движения. Они принимают теперь вид
ГР;р = ГР;р+®аР; р = 0. (8.7)
Интересная ситуация возникает, когда векторная плотность Sa^. р является линейной функцией от 8:
Я л
о , A ds -А
-Sa3; P= C2S K^bizy (8.8)
A = I
Это имеет место, например, в случае электромагнитных полей,
А А
в которых частицы с массами от(0) обладают зарядом е. В этом случае, который наиболее общим образом характеризуется посредством (8.8), мы имеем для уравнений движения
А А А
d^ I I a WSI1 dV А . л KT /о QN
-(0,^+-(0, — = AT-. A=I..... <8;9>
Это будут общие уравнения движения, если выполняется (8.8). В частности, в случае электромагнитного поля мы имеем уравнения движения Лоренца. 56
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Обычно (8.8) будет справедливо в случае точечных частиц как следствие уравнений поля (8.4). Таким образом, в этом случае мы можем сказать, что надлежащие уравнения движения являются следствием уравнений поля (для А) и гравитационных уравнений. Но, конечно, те же уравнения движения справедливы в произвольной координатной системе, даже если гравитационное поле исчезает, т. е. если гравитационная постоянная А,—>0 и ^ir = O. В этом случае обычно принимаются уравнения движения (8.9), потому что уравнения поля для А, как правило, становятся линейными, а, как мы знаем, линейная теория не может дать надлежащих уравнений движения и последние должны быть добавлены к уравнениям поля. Мы видим здесь преимущество введения гравитационного поля. Даже если оно стремится к нулю, его влияние остается в виде уравнений движения. При других обстоятельствах эти уравнения должны быть добавлены отдельно.
Можно легко показать, что вектор К" в (8.8) должен быть пространственно-подобным вектором. Это можно увидеть, умножив последнее уравнение на
Левая часть результирующего уравнения должна исчезнуть. Это действительно так, согласно определению dsA и согласно изложенному в § 7. Следовательно, правая часть должна также исчезать. Таким образом, имеем
что и доказывает наше утверждение, так как скорость есть времени-подобный вектор.
§ 9. Уравнения движения в различных системах координат
Ответим на следующий вопрос: что случится с уравнениями поля и уравнениями движения, если перейти от одной системы координат к другой? Как и в предыдущем параграфе, допустим существование гравитационного поля и некоторого физического поля, характеризуемого, как и прежде, для краткости только векторным полем А". Теперь перейдем от данной системы координат к системе координат, помеченной звездочкой, т. е. от
Л А.
Г d^
(8.10)
ds, ' А
(8.11)
а
(9.1) § 9. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 57
к выражениям
где
X«1, g**t(x*), Л*" (JC*), Ґ", (9-2) Xа = XaXx*), Xw = х*а (х),
A-=A"*?-, = „т.д. (9.3) дх° s s дхP дх°
Аналогично выражение
Aax9 = Aau
переходит в
Л*% == Л8
где символы Кристоффеля со звездочкой имеют очевидный смысл.
Но уравнения поля в ОТО не могут зависеть от выбора системы координат. Это означает, что, в то время как в старой системе координат мы имеем уравнения поля* которые символически можно записать в виде
Ig (X)] = —?a? [Л (X), g (X), П.
с (9.6)
Oe(Jf)H(Jf). g(x), H = O.
в новой системе координат эти уравнения могут быть записаны в виде
Gap Ig* GO] = [Л* (X*), g» (X*) г'],
(9.7)
Oct (X*) [А* (X*). g*(x*), ?*'] = 0.
Все это почти тривиально, однако тот факт, что в новой системе координат Oap, Ea^ и оператор Oa зависят от новых компонент поля и действуют точно так же, как они зависели и действовали прежде в старой системе координат на старые компоненты поля, не всегда достаточно хорошо понимается.
Из этого следует, что уравнения движения в новой системе координат записываются следующим образом:
Е*[А'(х*). g*(x% Г'].р = 0, (9.8)
где звездочка над точкой с запятой означает, как в (9.5), что символы Кристоффеля должны быть образованы из g*(x*).
Снова результат почти тривиальный: уравнения движения ко-вариантны по отношению к любому изменению системы координат.
Поскольку уравнения поля и уравнения движения имеют одну и ту же форму во всех системах координат, возникает вопрос: 58
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
все ли эти системы координат допустимы? Но, чтобы описать движение в любом отдельном случае, необходимо каким-то образом выделить систему координат. Однако, действуя так, мы нарушаем дух ковариантности, столь важный для ОТО.
В принципе существуют три способа обойти эту трудность:
1) Система координат выделяется с помощью определенных дополнительных координатных условий. В самом деле, в общем случае к уравнениям поля можно присоединить четыре координатных условия, выделяющих систему координат. Они в свою очередь определяют четыре произвольные функции, входящие в решения уравнений поля.
2) Не добавляется никаких координатных условий. Общие решения содержат четыре произвольные функции. Если необходимо, можно их определить, но мы не ограничены в своем выборе какими-либо координатными условиями.
