Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
линией = Sa (sB) и никакой другой; пусть точка пересечения есть
==s„. Если Jap ? = 0, то мы имеем также
в dp
в
dsb
JdxrtpSLa^ = O. (6.8)
в
Поскольку имеет место (6.6), то
В ™ BB
в
dgC
dss
Jdxnpm{0) f dsBbw(x — 4)Q*(s?) = 0. (6.9)
Принимая во внимание свойства 8(4)-функции, написанное уравнение будет означать
В в
«(О)2" (Sb) = O. (6.10)
Поскольку это уравнение должно выполняться для любого S3, то мы видим, что действительно исчезновение тензора энергии-импульса означает справедливость уравнений движения.
При доказательстве были использованы ковариантные обозначения. Используя их, мы упростили доказательство. Можно написать (6.6), ИСПОЛЬЗуЯ 8 ВМеСТО 8(4),
n . л л
1 и Л AA eis
T^=P = Xot* 0)8(х —= (6.11)
A = I dSO S 7. ВИДЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
47
в
Интегрируя по трехмерной области V вокруг точки 5, мы немедленно ВИДИМ
в
^ Ir-/ dxrU == 0)0а(-к°) = 0. (6.12)
3 V
Таким образом, мы снова получаем уравнения движения в качестве условий совместности для уравнений поля.
Мы получали уравнения движения двумя путями: во-первых, варьированием Wf-^-Wt (или, в действительности, только W1) по мировой линии; во-вторых, нахождением условий интегрируемости для уравнений поля. То, что было сказано до сих пор, может быть резюмировано следующим образом (причем 8. . ./8.. . означает вариационные производные):
8 8 W1
-J-(W^-If-W1) = —-?- = 0—> У равнения движения,
Sg 85 I
(Wf-\- W1) = 0 Уравнения поля. (6.13)
Таким образом, очевидна существенная разница между теориями гравитации Ньютона и Эйнштейна. Чтобы найти мировые линии в ОТО, необходимо знать поле. Но чтобы найти поле, нужно знать движение. Оно не может быть произвольным.
Как же преодолеть эту трудность? Мы увидим, что существуют два способа. Один из них, упомянутый в § 1, полезен скорее принципиально, чем практически. Он состоит в изменении уравнений движения Эйнштейна так, что движение становится произвольным. Затем, налагая на движение надлежащие ограничения, мы получаем решение уравнений. Другой способ, который мы также упоминали в § 1, состоит в выборе соответствующего метода приближений. Позднее мы остановимся на каждом из этих способов подробнее.
§ 7. Виды уравнений движения второго рода
Как мы видели в предыдущем параграфе, уравнения движения второго рода тесно связаны с тождествами Бианки. Эти тождества следуют из инвариантности гравитационного действия по отношению к бесконечно малым вариациям; мы доказали это при помощи формулы (5.13).
Теперь, используя уравнения поля в (5.11), получим
J dxZIg^ == 0 или - J dxZ80, (7.1) 48
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
где, согласно (5.8) и (5.9),
— ^ = r^V+ S3ll?V — g%Jll\ (7.2а)
8Sap = SqiTip-+ SpllIV(7-2б)
Если ввести ЭТИ последние величины В (7.1), ТО, поскольку Т] произвольно, (7.1) эквивалентно
SapiP = O или ?р;р = 0. (7.3)
Таким образом, вместо (7.3) с равным успехом можно рассматривать уравнения (7.1) в качестве наших уравнений движения как раз по причине произвольности Tj.
Введем в первое уравнение (7.1) для Sap выражение (4.23)
Ь О «""J AAA А
(7.4)
Тогда (7.1) переходит в
N XАА А ^
S Jrf^VplOteeP = O.' (7.5)
A = 1
As=I х>0
Поскольку Tj являются непрерывными функциями только ОТ X (не зависящими от ?), то
A AA AA AA
8Sa3=SaJi", р+«w+iw?- (7-6)
Так как
Л л ~
А dn?
о (7-7>
А
то благодаря произвольности которые, как мы допустили, исчезают на концах временного интервала, получим
^??)V I«==0' ^ = 1.....**• (7-8)
Покажем сначала, что эти уравнения совершенно эквивалентны уравнениям (3.16), полученным с помощью использования вариационного принципа
/ А Аа V А AA
I— dgP \ 1 d^ dSv -Q.
ds.
А S 7. ВИДЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
49
Прежде чем доказать эту эквивалентность, сделаем одно замечание. Эти уравнения типичны для двух типов формализма, которые используются повсюду в нашей работе: s-формализм, если s — независимый параметр, как в последнем уравнении, и ^-формализм, если независимой переменной является t, как в (7.8). Первый тип формализма—s-формализм, связанный с использованием 8(4)(jc), имеет свойство немедленно обнаруживать ковариантный характер этих уравнений, второй тип—^-формализм, связанный с использованием 8(х), не обладает этим свойством. Однако он более удобен при реальных вычислениях.
Доказать эквивалентность последних двух уравнений достаточно просто. Действительно, вводя в (7.9) вместо dsA
А
kmtcb dx°
dsA = ~А-• (7Л°)
H-C*0)
что тождественно (4.22), легко найдем, что (7.9) переходит в (7.8).
Обратное утверждение также справедливо, но доказательство его более тонко. Может показаться, что, вводя в (7.8) новый параметр sA, определенный с помощью последнего уравнения, мы действительно получили (7.9). Это верно, но такое замечание не делает доказательство полным. Возникает вопрос: является ли dsA, введенное с помощью последнего уравнения, тождественным dsA, введенным через
