Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
[^li = IfTvJ- (3.19)
Иначе говоря, примем закон „препарирования" для произведения, упомянутый в разделе „Система обозначений" для g и его производных. При этих условиях можно написать (3.16) в форме
А А А А
A« — ^2Ja і I " 1 dl* dl
Л
-Qa=-
dsA ((J.V J dsA ds
З*
= (3.20)
[ ji-v J dsA 36
ГЛ. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИ МО ДЕИСТ ВИЕ
Как и в (3.9), можно ввести ковариантное дифференцирова-
A
ние D для тензоров на А-й мировой линии
А
А
DTa = dTa + IД, I T^df. (3.21)
Используя это обозначение, имеем
А - А А ГУ HEa
2* = -f — = 0. (3.22)
dSA dSA
Итак, мы получили уравнения в форме, очень похожей на уравнения геодезической линии. Но надо помнить, что последняя их
форма была получена при допущении, что срф = срф справедливо для g и его производных.
§ 4. Уравнения поля Эйнштейна
Напомним здесь знаменитые уравнения Эйнштейна для гравитационного поля. Они могут быть выведены из вариационного принципа, который мы постулируем в форме SW = 0, где W=Wy-j^-W1 и
V=Ir. (4-І)
Здесь k — гравитационная постоянная, которая стоит в ньютоновских уравнениях
k = 6,67 • Ю-8 см31г ¦ сек1.
Интеграл должен браться между пространственно-подобными гиперповерхностями. Подынтегральная функция есть простейшая скалярная плотность, которая может быть образована из gaТаким образом, она является также простейшим лагранжианом, который может быть постулирован, если мы отбросим возможность члена,
равного постоянной, умноженной на У—g. Этот член приводит к дополнительному „космологическому члену", равному постоянной, умноженной на в уравнениях поля.
В самом деле, при некоторых естественных предположениях У—gR является единственно возможным лагранжианом. Это следует из того факта, что лагранжиан должен быть скалярной плотностью и что мы хотим, чтобы уравнения гравитационного поля содержали производные только до второго порядка вклю- J 4. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА
37
чительно. Мы предполагаем это, ибо ньютоновские уравнения для гравитационного поля являются уравнениями второго порядка.
Инвариантный лагранжиан может быть построен только из полного тензора кривизны Римана Следовательно, единственные скаляры, которые следует принимать во внимание, кроме R = g^R^, есть скаляры типа R^^R^9" и т. д. Функция Лагранжа должна быть скалярной функцией этих инвариантов, умноженной на скалярную плотность. Она может быть также и скалярной плотностью в виде det||/?a?||. Вообще все лагранжианы, за единственным исключением У— gR, приводят к уравнениям поля четвертого порядка. Постоянная перед интегралом в (4.1) выбрана так, чтобы получить переход к ньютоновским уравнениям при с —> со.
Если имеется материя, представленная точечными сингуляр-НОСТЯМИ, ТО полное действие ДОЛЖНО быть суммой Wf из (4.1) и W1 из (3.1):
W = Wj^rW,. (4.2)
А
Постоянные Шщ в W1 играют роль констант взаимодействия между точечными частицами и метрическим полем.
Мы получим уравнения Эйнштейна для гравитационного поля, взаимодействующего с точечными частицами, варьируя W по (х) и полагая 8W - 0.
Вычислим вариацию W, начиная с Wy.
G2
bwf=-i?kfdxb (v^gg^Rj=
O2
= -j^f f dx (V=^Re9 + Я8 /=7+ V~gg* bRj = "і
= T?f fdx [VzrZ т srP+y^r^J. (4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
В этом уравнении мы использовали тот факт, что
Zg = gg* *ga? = — gg*v Srp-
Поскольку то
Uj
bW
f 16я?
f dx Vа- (>? -1 g* r) + 35, 38
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
где
«1
Чтобы найти SS1 заметим, что, хотя \ а I не является тензо-
I F» S
ром, его вариация sj является тензором. Действительно, {(Tv} ^a dx^ является приращением вектора Л„ при параллельном
переносе от JcrP к Следовательно, (ъ | ^ | ^ Aa dx^ есть
разность двух векторов в той же точке x*-\-dxf. Каждый из них получается параллельным переносом; один из них рассматривается в старом поле gа другой — в варьированном поле ffap-f- Sffap. Разность двух векторов в одной и той же точке есть вектор.
Поскольку И dx*-произвольные векторы, TO 8 I aJ- —тензор.
Используя (0.13), имеем
Используя локальную галилееву систему координат, т. е. такую, что в данной точке
SilvlP=O и, следовательно, =
имеем вместо (4.8)
rp Rp=(іг* {} - {;v })ie • (4.9)
Так как имеет тензорный характер, то в любой коор-
динатной системе
ff°? 8?afS = 8Q*;. = yLj {Y~g bQ\, (4.10)
где s 4. уравнения поля Эйнштейна
39
является вектором: Следовательно, возвращаясь к (4.7), находим
16icA
(4.12)
Принимая, что SQa исчезает на пространственно-подобных поверхностях O1 и а2, имеем
85 = 0.
(4.12а;
Итак, используя определение (0.15) тензора Эйнштейна, можно написать (4.6) в виде
<*2
8 Wt
16Tlk
f ©^
dx.
(4.13)
Теперь проварьируем действие W1 по ga?
ZW1= 8
Uj А
Zj тщс
A = 1
nA aAa
A = I
где
®1 л
8^p = fdx 8(4) (jf — S)
(4.15)
Заменяя этот член в (4.14), находим
N
8^z = -S mWc f Tlf-dieS dxb^ ^x — =
Л= I и,
<т2 лг
^4 у
= — -JJrfjcs^sS W(0)C / S(4) — ^ "Й- "Й" (4-1 6)
