Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если ^a8 регулярно по х°, что всегда имеет место, можно, снова используя (0.22), написать предыдущее уравнение в форме
Л, А
/dx8(x —5)*.р(х, U0), (3.3)
где о—наша „хорошая" 8-функция. Следовательно, мы будем полагать, что все интегралы типа
8 (X)
/
dx-
X \г
для произвольно заданного р исчезают. Наконец, возвращаясь к обозначению (3.1), можно заметить, что O1 и а2 означают две произвольные пространственно-подобные гиперповерхности, т. е. такие, что нормали к ним яа удовлетворяют условию > 0.
Интегралы должны браться вдоль мировых линий между двумя поверхностями.
Определенное таким образом выражение Wj (если мы в настоящий момент оставим в стороне тонкости, возникающие и? определения компонент поля вдоль мировых линий) является естественным обобщением соответствующего выражения специальной теории относительности. Действительно, в случае пространства — времени Минковского, т. е. в случае g-^=^, сотласно (0.4), наше уравнение (3.1) для Wj принимает вид
Ы A ^2 A AA
Wf = — 2 тф)с J (№0)2 — dla d?)4'. (3.4) § 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ОТО
33
т. е. хорошо известного выражения для действия при движении по инерции в специальной теории относительности. Мы видим, что наше первоначальное выражение (3.1) для Wj является единственным разумным обобщением вышестоящего выражения для мира, обладающего кривизной.
Итак, имея Wj, легко можно получить дифференциальные уравнения движения первого и второго рода.
Начнем с уравнений движения первого рода, т. е. с уравнений движения для пробных частиц. Чтобы это сделать, следует про-варьировать в (3.1) только выражение с массой т, для которой мы примем малое значение Дт. Примем также, что Ат не влияет на данное поле, которое остается регулярным вдоль мировой линии частицы. Таким образом, 8(4) в (3.2) выполняет только одну роль—вводит мировую линию, т. е. вместо Xа. Следовательно, W1 для пробной частицы, поскольку рассматривается его вариация, равно
<Tз
W =—А«с Jcffep (6) (3.5)
"1
Получаем уравнения движения обычным путем, варьируя Wi по Написав
имеем
IW1 = -Amcg^bZl]+
і л С\ se« Г d 1 d? 1 /о с,
-Ar Artie J ds (3.6)
»i
Если df исчезает на <зь и о2, то из условия SlT7=O получим уравнения для пробной частицы
Jd-I d^ ^ 1 d^L d^L- п <п\
ds ) 2 ds ds ~ ' 4 >
где, конечно, и его производные должны быть взяты в точке Выполняя дифференцирование (djds) (d^/ds)] в последнем уравнении и поднимая индекс а умножением этого уравнения на ga?, получаем
Л" ,IfWf ^v-O П К)
где символ Кристоффеля должен быть взят в точке Используя символ D для ковариантного дифференцирования, имеем
DTil = dTa ^r ^ ^ T^dxv. (3.9)
З Зак. Ns 222 34
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Можно, следовательно, записать (3.8) просто в виде
І 2 •=• (3-Ю)
Это уравнение в той или иной форме вместе с определением .линейного элемента ds целиком определяет мировую линию Sja как функцию S. Это уравнения геодезической.
Мы можем также интерпретировать W1 как функцию верхнего предела о2. Это значит, что мы интегрируем вдоль геодезической мировой линии от фиксированного нижнего предела до произвольного верхнего предела, который является пересечением мировой линии с произвольной пространственно-подобной гиперповерхностью. Тогда W1 становится тождественным функции, удовлетворяющей уравнению Гамильтона—Якоби. В этом случае имеем
(3.11)
так что
dW.
= = (3.12)
<?? іis
Поскольку gap(dF/ds)(df/ds) = 1, то мы получаем уравнение Гамильтона — Якоби для пробной частицы
Г?(?)^/іа^/ір = (сД/п)2. (3.13)
Иногда бывает удобно определять движение частицы, найдя общий интеграл этого уравнения. Дифференцируя его по параметрам, можно найти все интегралы уравнений движения. Таким способом можно избежать иногда трудоемких вычислений с символами Кристоффеля.
Теперь обсудим уравнения движения второго типа. Мы считаем поле неизвестным; позже мы увидим, как найти его из урав-
нений поля. Вообще ga0: будет сингулярно на мировых линиях. Следовательно, нужно соблюдать осторожность в процедуре варьирования, чтобы избежать сингулярностей.
Будем варьировать ^ap по Имеем
Л Л Л
f) AA
=T^-X- (SC4) (* — е)) g* w да?
А А
. = — fdx\4) (х — Є), ,^Sp =
= Jdx 8(4) (X - І) ga?, р 85" = ьЬ, (3.14) § 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ОТО
35
где gсчитаются заданными функциями, не варьируемыми по Введем
А А
А
(удобно писать dsA вместо ds). Затем приступим к вариации Wj
*А Л Jta Aa Г Wj = -Zimio )Cga,-§-d^\
-л а'
A = 1 Д -
A Ar, A AA
Л А
+ (3.15)
A = I a, lAA AA-I
А
Из условия исчезновения 8$ на O1 и а2 выводим уравнения движения второго рода
A An AAA
d - d1 •- dt* dV _п
ITJ g^IsJ ~ ~Zgw\* ds, ITJ-и- (0ЛЬ-)
А А —А А
Форму этих уравнений можно изменить, помня, что
- -А' ¦ л
d — d " д
dsA ¦ -А
= ST 5 dxl^x-Vs*-
A AA
/'^8(4)(^-5),,^ = -311^. (3.17)
ds, А
Вводя это в (3.16), имеем
A A A A A
T^ + I^-Ff1 = O. (3.18)
A AA
Теперь сделаем допущение, которое практически всегда выполняется, т. е.
