Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
В ОТО мы имеем также гиперболические уравнения для поля, как и в линейных теориях. Однако после использования метода приближений уравнения движения, которые следуют из уравнений поля, превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка; следовательно, они имеют форму, сходную с ньютоновской теорией движения, т. е. со случаем дальнодействия. В этом отношении концепция близкодействия, созданная на основании линейных теорий поля, не согласуется с ОТО-
Могут ли эти уравнения третьего рода быть получены из вариационного принципа, в котором фигурируют только мировые линии, а не поля? Мы покажем, что это действительно может быть сделано для уравнений движения вплоть до пост-ньютоновского порядка приближения.
Мы будем называть такие вариационные принципы, ведущие к уравнениям движения третьего рода, принципами типа Фоккера.
Резюмируем коротко этот существенный пункт: именно поле имеет первостепенную важность в ОТО- Уравнения поля определяют не только само поле: они определяют также и движение.
§ 2. Теория гравитации Ньютона
Теория гравитации Ньютона есть теория, базирующаяся на концепции дальнодействия. Гравитационное поле в ней появляется только как вспомогательный математический инструмент. Благодаря своей простоте эта теория очень удобна в качестве примера, иллюстрирующего три рода уравнений движения и простые вариационные принципы, которые к ним приводят. А
Положим, что есть мировые линии N точечных частиц
А
(Л=1, 2.....Azr), т. — их массы, а ср(х, t)—ньютоновское гравитационное поле. В качестве основы теории Ньютона примем вариационный принцип
SW[9, Il ..., g] = o, (2.1)
где действие W является функционалом ПОЛЯ ср(Х, t) и мировых
А
линий §(?). Вариация должна производиться как по <р, так и по Действие W состоит из двух частей: Wj, относящейся к полю, § 2. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ НЬЮТОНА
27
и W1, соответствующей и мировым линиям частиц и полю, т. е. взаимодействию поле — материя
W = Wf+ W,. (2.2)
Мы определяем Wf и W1:
и
W
1 (2-3)
S 4tca
t
(k — гравитационная постоянная),
N А А Л А А
W1=Yi f fdtfdxmb(x — l(t))<f{x.f). (2.4)
A = I U A = 1 і,
Начнем с уравнений поля. Они получаются варьированием W = Wf-^W1 по ср. Имеем
N А А
iw==—2 f dt f dxmb(x — §)8cp(x, ?)+'
A = I t,
h
Safdtfdx <p|ee8«p; (2.5)
4icA U
отсюда
na a
T,aa = 41Zky^mb(X-I)- (2.6)
' A = I
Если допускать только решения, исчезающие на бесконечности, то решение верхнего уравнения однозначно
N А A = I [X —g|
Таким образом можно решить ньютоновские уравнения поля для произвольного движения, т. е. при произвольных Поле
не зависит функционально от мировых линий. Поле ср есть просто функция пространственных координат частиц, взятых в один и тот же момент времени.
Теперь о ньютоновских уравнениях движения. Уравнения движения первого рода, или уравнения движения для пробных частиц в данном гравитационном поле, получаются,
1 А
если положить /n =Azre в W, и /те== 0 для всех других частиц (т. е. для A = 2, 3, ..., JV). Допуская, что ср регулярна вдоль мировой линии 1(f) пробной частицы, примем во внимание только 28 г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
следующую часть W1:
(2.8)
(2.9)
откуда в качестве уравнений движения для пробной частицы в данном гравитационном поле ср получаем
Amls = -Amyls (2.10)
и, разделив на Am, окончательно имеем
5' = -V (2-Й)
Уравнения движения второго рода мы получим, варьируя выра-
A
жение (2.4) для W1 по
Nt, AAa А
5tt7Z = -S —/<*х8(х —5)„<р(х, *))• (2.12)
A=і г,
д!д\,
(2.13)
В этих уравнениях появляются напряженности поля вдоль мировой линии. Но ср может быть сингулярно вдоль мировой линии. От этой сингулярности можно избавиться, используя нашу „хорошую" 8-функцию. В случае пробной частицы было безразлично, использовали ли мы нашу „хорошую" 8-функцию или 8-функцию Дирака, так как единственной ее целью было ввести § вместо х. В случае пробной частицы было также безразлично, использовали ли мы
cp|s или <» » так как здесь ср не зависит от Это уже не безразлично, когда мы варьируем (2.12). При переходе от (2.12) к (2.13) необходимо допустить, что ср, по крайней мере в своей регулярной части, не зависит явно от если же она зависит от Ё, то мы варьируем по § только 8-функции, а не потенциалы ср.
Уравнения третьего рода получаются с помощью подстановки в в уравнения второго рода переменных поля как функций мировых
н
Wi = f dt(^Amhs-Am? & t)"j.
it
f-s
Варьируя Wj по ? , имеем t,
о W':
f.
; = - J'dt Am г (U* + ?„). (?„ = #) .
Интегрируя под интегралом по частям и учитывая д/дх = получаем уравнения движения второго рода
A JL А
= — Г dx8(x — g)v S 2. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ НЬЮТОНА
29
линий частиц; это означает, что мы должны ввести в уравнение (2.13) для ср значение (2.7). Имеем
м в : k ^ т
B=I
так что
в
-S3 (О
I X - 5(0 I3
(2.14)
AnB
Till = ^ f (X-S)S
в = і
т
в
¦ Sa
NrA B ^2,^4-W-' (2-15)
