Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 10

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 65 >> Следующая


B^i I g — g I3

ВфА

А А

Это уравнение правильно, так как 8(х— §) заменяет х на §(0 в регулярной части функции. Можно заметить, между прочим, что эти уравнения будут справедливы при использовании не только нашей „хорошей" 8-функции, но и обычной S-функции Дирака. Это будет действительно так, ибо интеграл от сингулярной части Cp1 а исчезнет по причине сферической симметрии обычных 8-функций. Следовательно, чтобы получить регулярное выражение для поля на мировых линиях в теории Ньютона, достаточно учесть сферическую симметрию обычной о-функцнк и нет необходимости вводить нашу „хорошую" 8-функцию. Таким образом, вводя (2.15) в (2.13), получаем уравнения третьего рода

N

* S

В

т

B = I ВфА

А В

^a-__ tia

ТД В 13 5 — E

(2.16)

или, умножая на /те, более обычную форму

А*

m



гі ^ mm

А В

_^a

ТА діз

(2.17)

в=і

ВфА

Теперь можно легко ввести вариационный принцип Фоккера, приводящий к (2.17). Это вариационный принцип, хорошо известный из теоретической механики,

bWF = o

Д аа а

A = 1

О, (2.18)

где вариация должна производиться по мировым линиям.

Какова связь между этим вариационным принципом и вариационным принципом для уравнений второго рода? Ответ состоит зо

ГЛ. 1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

в следующем. Если в W = Wf-\-Wj ввести в качестве поля ср конкретное решение

N А

^-kIiTjl-TT (2-19)

A = 1 ІХ—І I

уравнений поля, то получим правильное выражение для Wf.

Чтобы доказать эту теорему, будем исходить из Wf. Мы имеем следующее равенство, которое вводится только для вариации по ср:

U h

W

fdx / V V = ш Sde f dx^ ««*• (2-20)

f 4nk

U

Заменяя ср из (2.19) и используя уравнения поля (2.6), имеем

nnABu А І ЯІ-1

^7 = -2-2 y^kmm § dt § dxb(x — g)|x — f | =

A = 1 B = I Z1

—ї І /-»»іДТ-ЇІ

АфВ = \и Il — g| A = IZ1 ІХ —6|

(2.21)

Последний интеграл исчезает, ибо наши S-функции являются „хорошими". Теперь, подставляя ср из (2.19) в Wj, имеем

iI к АА ЛГ л А в

W<= fdt%±mH<+fdt 2и km/^хВ(х — g).

и A = I 11 A,B=I IX.

t* N . а А ** АГ АВ

Z1 A = I Z1 A,B = I U-? I

АфВ

N Zj

т



A = 1 Z1

Последний интеграл снова исчезает по тем же причинам, что и раньше. Складывая два последних уравнения, находим

и ( N Л aa а . ** Ав

Wf^Wl= f dtl Yi^mkr S k^sT Y (2.23)

Z1 \ A = 1 A, B = I І5 — I

V А

что тождественно с Wf Фоккера, приведенной нами (2.18). Но полное согласие получено благодаря использованию нашей § 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ОТО

31

„хорошей" 8-функции. Используя обычную 8-функцию, мы имели бы дополнительное выражение в (2.23) вида

и M

Wco6ctb. = \ J dt 2 k>"2 / dx ^YT' (2 •24)

и A = 1

которое равно нулю в случае нашей „хорошей" 8-функции и бесконечно в случае 8-функции Дирака и вообще может принимать любое заранее заданное значение, так как можно найти тип 8-функции, для которой

г , а (х)

J dx^T'=ш<1>.

где u)(D—произвольное заранее заданное число. В любом случае это дополнительное выражение будет постоянным и не даст никакого вклада при вариации. Таким образом, поскольку дело касается вариации Wf, наше утверждение не зависит от выбора 8-функции.

Теория гравитации Ньютона, резюме которой изложено в этом параграфе, использует идеализированную концепцию точечных частиц,. С ее помощью мы представляем себе существенные характерные особенности движения планет, на которое размеры планет и их вращения оказывают малое влияние.

ОТО является по существу обобщением и расширением простой теории Ньютона. Здесь тоже введение точечных частиц и использование 8-функций позволит нам описать наиболее важные особенности их движения.

Теория Ньютона была развита в этом параграфе в таком виде, чтобы позволить нам позднее лучше выяснить различия, а также, конечно, и черты сходства между ней и ОТО- Наиболее существенная разница заключается в том, что в ОТО уравнения движения следуют из уравнений поля. Однако именно теория Ньютона послужит нам для подхода к ОТО- В самом деле, мы будем искать решения, которые при с-+оо переходят в решения теории Ньютона. Принцип соответствия столь же важен для выяснения соотношения между ОТО и теорией Ньютона, как и для соотношения между квантовой теорией и классической механикой.

§ 3. Взаимодействие в ОТО. Уравнения движения первого

и второго рода

А А

Мы имеем N точечных частиц и их мировые линии Ча = ^a (X).

А

Обозначим их массы через /и(0). Формально они могут рассматриваться как постоянные взаимодействия частиц с гравитационным полем. 32

г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Для взаимодействия Wr между частицами и гравитационным полем примем выражение

ЫА А А А

Wi=-Yd m^с f d*a d^k • (3 •1}

A = I а,

А

Мы будем интерпретировать ^as согласно сказанному в разделе „Система обозначений" или, более полно, в приложении 2, т. е.

А

подставим Eft вместо хк, опуская сингулярную часть gМы мо-

жем написать ковариантное определение

AA

= J dxM (X — 5 (X))^ep(JC)1 (3.2)

где 8(4) определяется выражением (0.22) с помощью наших „хороших" 8-функций.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed