Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор Эйнштейна имеет вид
G^ = Ra9- Y^V?. (0.15)
Все величины I Jp j, R^9q и т. д. имеют геометрический
характер. По крайней мере некоторые из них имеют определенный физической смысл. В некотором смысле символы Кристоффеля представляют собой напряженность гравитационного поля, а метрический тензор — его потенциалы. Позднее мы сможем вернуться к этому вопросу подробнее.
Б. 3-функции
Введем „хорошую" 8-функцию, т. е. о-функцию, которая, обладая свойствами обычной 8-функции Дирака, удовлетворяет также условию
= р= 1, 2..... А. (0.16)
J I X |р
Все вычисления, в которых будет появляться S-функция без каких-либо дополнительных предположений, выполнены с „хорошими" 8-функциями. Более полная теория этих функций дана в приложении 1.
В. Значения поля на мировых линиях
А
Назовем ^a(Sj4) мировой линией A-й сингулярности. За параметр, от которого зависит мировая линия, мы обычно берем не „собственное время" sA, а время x°=ct. Тогда движение харак-
A
теризуется hm(x°) и ^0 = JC0. Положим
/ = /(*«, Xа, Ь(х°), V100, .. А Ib
СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЯ
Тогда процесс „препарирования" (tweedling process), соответствующий А-й сингулярности и обозначенный написанным над „препарированным" выражением, означает следующее: во-первых, мы
А
пренебрегаем членом в /, дающим сингулярную часть при х = Е;
А
во-вторых, вводятся выражения ijA вместо Xk в регулярную часть /. Или, используя нашу „хорошую" 8-функцию, определим
aa а
J = f dx 8 (X — § (JC°)) / (*0, xk, (0.17)
Из этого определения следует (если мы опускаем индексы А):
фю = tp|0 + tp]j^io = «Pi«?a|o. (0.18)
л« Ґ*-^
до д<? ,
^F=-SF"+*!-
Мы будем повсюду полагать, что функции, с которыми мы имеем дело, подчиняются правилу „препарирования" для произведения, что означает.
^jT= фф. (0.19).
Более подробно см. приложение 2.
Г. Ковариантный характер S-функций. Тензоры на мировых линиях
Четырехмерная 8-функция Дирака является скалярной плотностью. Это следует из соотношения
J 8(4) (х) dx = 1. (0.20)
Под „тензорами на мировых линиях" будем понимать тензоры, определенные только на мировых линиях К таким тензорам можно применять правила тензорной алгебры, но не тензорного анализа. Чтобы применить последний, необходимо иметь тензорные поля. Можно преобразовать тензор, определенный вдоль мировой линии, по крайней мере символически, в поле тензорной плотности следующим образом:
со
f ax в(4) (х—^а)) т;у/-;-т(Х). со.2і> СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИИ
17
Свойства преобразования 8(3) следуют из
со
Sf3)= / 5U)^0.
(0.22)
— СО
что вместе с (0.20) дает
/8(3) dx = 1.
(0.23)
Это значит, что 8(3) dx может рассматриваться как инвариант. Если 8(3)-функции есть наши „хорошие" 8-функции, то можно принять (0.22) за определение „хорошей" S 4j-функции. Более подробно см. приложение 3.
2 Зак. Ka 222 ГЛАВА I
Гравитационное взаимодействие и общая теория движения
§ 1. Общая постановка физической проблемы. Частицы и гравитационное поле
Сформулируем нашу проблему в общем виде как задачу о частицах и гравитационном взаимодействии между ними.
Частицы движутся в римановом континууме. Его геометрия зависит от расположения и движения этих частиц; она определяется распределением материи. Такова картина, которую мы имеем в ОТО. Правильна ли она? В этом параграфе мы попытаемся набросать ответ на этот вопрос.
Сначала несколько слов о понятии точечных частиц. Это понятие, очевидно, является изобретением человеческого ума. С его помощью мы описываем гораздо более сложную действительность. Его применение подразумевает, что в каком-либо данном случае можно пренебречь размерами тел и их структурой, если мы хотим описать только наиболее существенные характеристики движения. За это упрощение мы должны кое-чем заплатить. Картина материи будет проста, но картина поля становится сложной. Поле становится сингулярным на мировых линиях! Однако природа этого затруднения не носит физического характера, следовательно, простительно трактовать его как нефизическое, т. е. чисто формальным путем. Поступая таким образом, мы используем математический аппарат, развитый в приложении и кратко приведенный в разделе „Система обозначений".
В дальнейшем мы скажем больше о трудностях, связанных с сингулярностями поля. Они окажутся важными при нашем анализе с формальной точки зрения, поскольку мы поставили себе цель найти существенные характеристические особенности движения точечных частиц. Не следует, однако, переоценивать эти трудности с точки зрения физики. Они несущественны и не связаны с логической структурой ОТО.
Если мы примем любую координатную систему, относительно которой мы хотим описывать движение точечных частиц, то ее описание заключается в установлении:
а А
1) мировых линий частиц ^a = Sa(V);
2) метрического тензора ^a3, который характеризует геометрические свойства континуума.
2* 20
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Таким образом, для нахождения мировых линий и метрического тензора необходимо знать законы, управляющие движением, и законы, управляющие метрическим полем, которое в свою очередь оказывается сформированным посредством движения.
