Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
M=I
^s. ds . А А
Таким образом, выполнена вариация W. Мы требуем, чтобы 8W исчезало, если 8g"a? произвольно и подчинено только условию bCt—O на Ct1 и ст2 для любого выбора пространственно-подобных поверхностей Ct1 и Ct2. Следовательно, соединив результаты,. 40
ГЛ. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ
представленные (4.13) и (4.16), получим уравнения Эйнштейна:
ДГ СО А А
,«р 8itA V А Cs , n d?a
^ =--S1Sm(O) / 8<4)(* — 5)"
ds,
ds .. ds,
A=I -со AA (4.17)
Oat3 = Cftotei —
Эти соотношения имеют вид уравнений поля, представляющих близкодействие. Их левые части содержат нелинейные дифференциальные операции над метрическим полем g^. Их правые части содержат источники поля, образованные движущимися частицами.
А
Массы /ге(0) имеют характер постоянных взаимодействия.
Вводя метрическую плотность тензора энергии для движущихся точечных частиц, имеем
nA °° А А A?
** = S -(0)'2 / *«> -Ъжгёт dsЛ- (4 -:18)
A=I -со А А
С ее помощью можно написать уравнения Эйнштейна в более простой и более общей форме
(4Лд)
Эта форма является более общей, так как предполагается, что она справедлива для любого тензора энергии.
Левая и правая части этих уравнений имеют совершенно отличный друг от друга характер. Левая часть есть эйнштейновский тензор гравитационного поля. Он имеет определенный геометрический характер, являясь в то же время некоторым метрическим тензором. Правая часть, однако, является чисто физическим тензором, представляющим распределение энергии и импульса в пространстве — времени.
Эйнштейн всегда рассматривал это смешение физики и геометрии как основной недостаток, как временную схему, которая должна быть заменена в будущем единой теорией поля, где все физические поля будут иметь геометрическое соответствие. Этой проблеме Эйнштейн посвятил около тридцати лет своей жизни; он искал уравнения поля, которые давали бы решения, описывающие материю без сингулярностей. Результаты этого труда, выполненного им и его многочисленными сотрудниками, кажутся большинству физиков разочаровывающими.
Следовательно, пока примем (4.19) и поэтому допустим дуалистическую точку зрения: мы примем существование материи, которая определяет геометрию риманова континуума. Или, наоборот, зная геометрию, найдем распределение импульса и энергии. § 4. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА
41
Вернемся к случаю точечных частиц и к определению (4.18)
тензора энергии. Это определение означает, что вне мировой линии имеем
©аР = 0, (4.20)
т. е, уравнения поля для пустого пространства. Поле становится сингулярным только на мировой линии. Это значит, что мы принимаем уравнения поля для пустого пространства и существование некоторых мировых линий, на которых уравнения поля для пустого пространства не выполняются.
Для дальнейшего рассмотрения удобнее использовать тензор энергии для точечных частиц в несколько иной форме. Можно переписать (4.18) с помощью (0.22) в виде
' = (4.21)
A = I d^O А А
Положим X0 параметром для всех мировых линий:
AAA
=^(X0)3 $0 = JC0.
Затем если введем
А
a km, к dx°
,(XO)=-^L , (4.22)
А
то сможем написать (4.21) в простой форме
nA AAA
, M2^8ltVp (J5O) а (X — g) ^0S V • (4.23)
A = 1
Следовательно, уравнения Эйнштейна (4.19) принимают вид,
(Гр = — 8« S J (-*0) 8 (X — () ?VV (4-24)
A = 1 1
Это есть вид уравнений, который будет особенно удобен для нахождения уравнений движения третьего рода.
Еще одно замечание: если положить x°~ct, то, как следует из (4.22), будем иметь
А
KO =-^ + о (-Jr)- (4-25)
л
Следовательно, разложение ja по степеням с-1 начинается с члена второго порядка, с постоянной, которая имеет определен-
л
ное физическое значение, именно с km,0)c~2. 42
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
§ 5. Тождества Бианки
Для каждого полный тензор Римана удовлетворяет
тождествам Бианки
-с H- ^vor; р а — 0. (5.1)
Поскольку они имеют тензорный характер, то достаточно доказать их справедливость в специальной системе координат. Возьмем локальную галилееву систему координат, т. е. систему, для которой
в данной точке ga3 =Tjap, ffa,,(p = 0 и | "| = 0, иначе говоря,
систему координат, для которой в данной точке символы Кристоффеля исчезают, a g принимают галилеевы значения. Следовательно, в пробной точке и в такой системе координат можно легко найти левую часть (5.1) из определения (0.12) полного тензора кривизны Римана. Допуская непрерывность производных g третьего порядка, находим, что в выбранной системе координат в данной точке Xv" левая часть последнего уравнения тождественно равна нулю. Поскольку это уравнение имеет тензорный характер и точка Xv" произвольна, то левая часть должна быть равна нулю всегда и везде.
Умножая (5.1) на g*P и полагая |а = <з, получаем выражения, которые также называются тождествами Бианки
Op;i3 = (/?p — ±5ря) ? = 0. (5.2)
При ссылках здесь или позднее на тождества Бианки мы будем иметь в виду уравнения (5.2); они играют важную роль в ОТО, и мы их докажем поэтому здесь независимо от (5.1). Эти соотношения являются тождествами, под чем подразумевается их выполнение для произвольных g, коль скоро последние имеют непрерывные третьи производные.
