Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Можно задать вопрос: какова основа тождеств Бианки? Ответ гласит: они следуют из ковариантного характера эйнштейновского тензора Octp и из существования вариационного принципа, приводящего к Gap.
Докажем тождества таким образом, чтобы представить явно причину их справедливости, которая заключается в ковариантности по отношению ко всем преобразованиям.
Напишем еще раз выражение для Wf
(5.3) § 5. ТОЖДЕСТВА БИ А ЯКИ
43
Очевидно, это скаляр; следовательно, если мы будем варьировать систему координат, то соответствующая вариация W^ должна исчезнуть.
Возьмем бесконечно малое изменение системы координат Xа —>х'*, даваемое выражением
Xra-Xa- — ті«,., (5.4)
где tf — бесконечно малое векторное поле.
Общий закон преобразования для g имеет вид
Отсюда, пренебрегая порядками выше первого, имеем
: (5-6)
где или
s^p = 7I4 P + 7Ip; «¦ (5-8>
Аналогично получаем
•8= — rf-'$—(5-9) Помня (4.6) и (4.12), можем написать bWf в виде
bwf=-l&r fdx®a? 5^+W / 8qX С • №.10)
о 1 о
где SQa дано выражением (4.11). Возьмем теперь поле rf-, исчезающее вместе с его первыми и вторыми производными на двух гиперповерхностях, Gj и а2. Поверхностный интеграл в (5.10) исчезает, и мы получаем
Wf=-JSS-Hlf^ = O. (5.11)
<ii
или
— НЧP = «Sr A*®"; ^=0- (5-12)
<7, Oi
Поле Tja произвольно между O1 и а2, поэтому мы должны иметь
(Г3. р = 0, или Oa^ = O. (5.13)
Эти уравнения, как показывает наше доказательство, независимы от уравнений поля. Доказательство показывает'также характер 44
г, I. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
тождеств Бианки. Они являются следствием инвариантности гравитационного действия, т. е. являются следствием тензорного характера теории, которая ковариантна по отношению ко всем преобразованиям.
§ 6. Уравнения движения как следствие уравнений поля
Вернемся к нашей основной проблеме. Мы покажем здесь, что уравнения движения являются следствием уравнений поля. Это возможно только потому, что уравнения поля нелинейны (что не означает, конечно, что любая нелинейная теория дает уравнения движения). Действительно, в теории гравитации Ньютона, где уравнения поля линейны, так же как и в теории Максвелла, уравнения движения не зависят от уравнений поля. В теории Ньютона, как мы помним, можно найти поле для произвольного движения частиц, которые понимались как источники поля. Уравнения движения, которые мы получили (в случае Ньютона) из вариационного принципа, были независимы от уравнений поля; знание их было несущественно для решения уравнений поля.
Ситуация, однако, носит совершенно другой характер в ОТО. Здесь поле и движение неразрывно связаны друг с другом. Уравнения движения являются условиями интегрируемости для уравнений поля.
Дадим теперь математическое рассмотрение, подтверждающее эти соображения и замечания, приведенные в § 1.
Выпишем еще раз уравнения поля Эйнштейна (4.17) для системы точечных частиц
N я 00 я А Аа
A= 1 -OO А А
Образуем ковариантные производные ; ? от левой части. Ввиду существования тождеств Бианки мы должны иметь в качестве необходимого условия их интегрируемости
(Na OO а A^ A? V
Sot(O) / 8W (•* — V dSAl ' (6Л)
A=I -со А А ' ; P
или, более кратко и в более общем виде,
^rVp+IpaJrp= 0, (6.2)
где Sap — тензор энергии, образующий правую часть уравнений поля Эйнштейна. Здесь мы, однако, наиболее заинтересованы § 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЕ УРАВНЕНИИ ПОЛЯ 45
в случае точечных частиц, в котором ї"3 определяется как (4.18):
N
A = 1 -со AA
Таким образом, в этом случае из (6.1) и (6.2) имеем
NA °°
-J^rf"; „=2««»
A = I -оо
8(4) (х ?).
А Ао
А dia d^
I? dsA dsj
(—«{;} -ff CH- <6-3)
Это выражение может быть представлено в иной форме. Мы видим, что
А А0 й А d6«
o(4) Іх-Цр-0ГГ7ІЇ7 А А
А Ао
д , , д dS" de*
А А
OS*
dta d ^ , А d I dta . , ,
o(4) _ S) = _ ^ 0(4) (* - О) +
dsA dsA
А
S ^ ел -S4(JC-S)-
ds",
(6.4)
Используя это, можно привести (6.3) к виду
А
//(*) 8(4,(*- k)ds,
так как интеграл от (d\dsА) [(dk*/dsA) S(4)] равен нулю для любого конечного X. Более того, выражения типа /8(4) исчезают везде, кроме точки, где 8(4) не исчезает. Таким образом, можно написать
Aa А
/(х)Ь{і)(х — Є) = J 8М)(* —Є).
Следовательно, (6.3) можно записать в виде
ЛГ , OO
1 с,.«.)!
P —
A = 1
-JrS""; e=2m<o> fdsA^)(x-~t)X
А
¦+ш
X
А
d4a ds1,
А А
di? dV
ds . ds .
А А
= 0, (6.5) 46
ГЛ. I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕВСТВЙЕ
ИЛИ
IV
-^-SefU=XmW }dsAb(4)(x—$)2"(*л) = 0, (6.6)
¦ Л=1 ¦ -іх.
где, как и в (3.20),
. а _ .. л л
d5A ^fiv' dsA dsA
Мы видим, что условие интегрируемости выполняется, если
А
2' = 0. (6.7)
Но верна также и обратная теорема. Это означает: из обращения в нуль дивергенции тензора энергии можно получить уравнения движения., Действительно, допустим, что Aa3 есть конечный трехмерный участок пространственно-подобного типа (т. е. кусок пространственно-подобной гиперповерхности ав). Допустим далее, что этот кусок гиперповерхности пересекается BB
