Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
оператор может быть получен из шрёдингеровской эволюции с некоторым
потенциалом, зависящим от времени. Таким образом, первый вопрос сводится
к реализуемости потенциалов в квантовой механике. С другой стороны, в п.
1.5 будет показано, что второй вопрос сводится к первому для
взаимодействий специального вида. Практически, конечно, эти вопросы могут
быть совсем не просты и требуют отдельного рассмотрения в каждой
конкретной задаче измерения (см. в этой связи поучительное обсуждение
"приемника Долинара" в [37, гл. VI] и в [18]).
1.4. Воспроизводимость. Пусть 5 - оператор плотности, Л\, . . .,
Жп - последовательность инструментов со значениями в измеримых
пространствах 86ь ..., 96п. Из постулатов (1.3), (1.4) следует, что
величина
рЖг, ¦¦¦, ... ХВп) =
= Тг Жп {Вп){.. .Ж, (5,) [5]. •.], (1.15)
где Bfig&(86^) есть вероятность того, что в последовательности измерений,
задаваемых инструментами Жь ..Жп, над системой, первоначально
находившейся в состоянии S, будут получены исходы /=1, ..., п.
Если 96\, ..., д6п - стандартные
измеримые пространства, то функция множеств (1.12), заданная на
параллелепипедах BiX • • -Х-В", однозначно продолжается до вероятностной
меры на а-алгебре )Х...
... Х#(Я?") (см. [78, § 4.2]). Соотношение (1.15) можно записать также в
виде
...а№Х...ХЩ=
= Тг5Л',(5,)[...^в(5в)[1]...]. (1.16)
В случае инструментов, сооответствующих проекционному постулату (1.6),
соотношение (1.15) переходит в формулу Вигнера (см. статью "Проблема
измерения" в сборнике [11]).
Рассмотрим повторное измерение, описываемое инструментом Ж. Инструмент
Ж называется воспроизводимым, если
Ж(В\)[Ж(B2)[S]] =^r(51n52)[S]; Ви В2М(%) (1.17)
для любого оператора плотности 5. Это свойство является математическим
выражением гипотезы воспроизводимости, гласящей, что "если физическая
величина дважды измеряется на системе 9^, причем измерения следуют
непосредственно одно за другим, то в обоих случаях получается одно и то
же значение" (см. [26, гл. IV, п. 3]).
Рассмотрим инструмент со счетным множеством исходов <8?(r)=* = {*ь Х2, .
. .} и ПОЛОЖИМ Жг = Ж ({х{}).
¦90
Предложение ([134], [78]). Всякий инструмент вида (1.6) •обладает
свойствами:
1) Л?"[Л?Д5]] = 6"^?([S] (воспроизводимость);
2) если Тг J[?S]=1, то (минимальность возмуще-
ния) ;
3) если Х^О и Jtt*[X]=0 для г'=1, 2, ..., то Z = 0
(невырожденность).
Обратно, всякий инструмент с этими свойствами имеет вид (1.6).
Таким образом, проекционный постулат (1.6) можно рассматривать как
следствие ряда физически содержательных свойств соответствующего
инструмента, включающих воспроизводимость. Как уже отмечалось, в случае
непрерывного спектра возникают принципиальные трудности, которые в
наиболее ясной форме выражаются следующей теоремой
Теорема (Озава [134]). Пусть 28 - стандартное измеримое пространство.
Всякий инструмент со значениями в 28, обладающий свойством
воспроизводимости (1.17), с необходимостью является дискретным, т. е.
существует счетное подмножество 280а28, такое что Ж(28\28о) [S]=0 для
всех S.
Доказательство. Рассмотрим точное состояние, задаваемое невырожденным
оператором плотности S. Согласно п. 1.1, существует семейство
апостериорных состояний {Sx}. Пусть {Вп} - счетная подалгебра,
порождающая $(28). Обозначая М(В)=Ж(В)*[Ц и используя воспроизводимость,
имеем
Тг SXM (Вп) (xs (dx) = Тг Ж (В) [5] М (3") =
в
= ТгЖ(ВП Bn) [S] = jj 1 вп (х) (dx),
в
откуда Тг SXM (В") = 1В" (*) для ^s-почти всех х^26. Поэтому найдется
подмножество 28tfzi28, такое что Ж(28\280) [S]=0 и TrSxAf(B) = lB(x);
х^0, Вб#(Я?).
Но тогда Тг ({*}) = 1, х^28о, т. е. Л1({*})?=0 и |xs ({л:}) ^=0, откуда
следует, что счетно.
В примере 1 апостериорные состояния (1.7) таковы, что в этих
состояниях (дискретная) наблюдаемая А с вероятностью 1 имеет определенное
значение Xj. Причина трудностей с непрерывным спектром связана с тем, что
(алгебраическое) состояние, в котором непрерывная наблюдаемая А имеет
определенное значение, не может быть нормальным (т. е. задаваться каким-
либо оператором плотности).
1.5. Измерения непрерывных наблюдаемых. В работах Шриниваза f 153] и
Озавы [136] указана возможность описания воспроизводимых измерений
непрерывных наблюдаемых, использующая состояния и инструменты, не
удовлетворяющие ус-
91
ловию нормальности. Пусть А= f xEA(dx) -вещественная наб-
- ОО
людаемая и пусть т] - какое-либо инвариантное среднее1' на пространстве
C(R) ограниченных непрерывных функций на R. Следуя [153], рассмотрим
отображение алгебры 99(<Ж) в себя, определяемое формулой
TrS"^ [Х] = чу(ТтЗе'УАХе-1"А),
где индекс у означает, что усреднение происходит по переменной у, и
функцию множеств
