Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 5
ПРОЦЕССЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ФОКА § 1. Квантовое стохастическое
исчисление
1.1. Основные определения. Пусть I) - гильбертово пространство.
Симметричное пространство Фока, ассоциированное с I), определяется как
00
Г(&) = 2ФГ"(&)'
71=0
где Го(1))=С, I\,(l))=l)sn - симметризованная п-я тензорная степень
пространства \ (см. п. 1.3.1). Г"(1)) называется п-ча-стичным
подпространством, Го(1))-вакуумным подпространством. В квантовой физике
Г(1)) описывает систему из переменного (неограниченного) числа частиц
(бозонов [6], [7]).
103
В интересующем нас случае, когда f)=L2(R+), пространство Фока r(J))
состоит из бесконечных последовательностей
l]j= [Уо> f \ (Р)т * • ! / П (^1" ' • •" ^л)> * • • I"
где /06С, /л tn) - комплексная симметричная квадратич-
но-интегрируемая функция от if,,..., if"6R+, причем
оо оо оо
< Ч" I 'Ф > =2 ¦ •\\fn{tv-,tn)\'2dtl...dtn<: оо.
л=О о о
Удобная модификация этого представления была предложена Маассеном в
[142J. Пусть т = {/,,. - цепь в R+, т. е. под-
множество R+ конечной мощности |t| = п, упорядоченное так, что tl
<...</". Обозначая ф множество всех цепей, ф" -
оо
множество цепей мощности п, имеем ф = U фл" где Фо = {0}-
О
Определим на ф ст-конечную меру которая совпадает
с мерой dtx...dtn на ф", я>0, и [х(0)=1. Для ^6Г (f)) положим ^(t)= /"..,
tn), если |т| = я>0 и тН0) = /о- Симметричная функция /" однозначно
определяется своим ограииче-
оо оо
нием на ф", причем ^^ |.. =
о о
= § | гр (т) 12у, (с/т), так что
Уп
<^>=2 § l^(T)l2^(rfT)=Sl^(T)IV(rfT)- С1-1)
Я- og>" g>
Для любого ОО определим операторы A(t), А+ (t), A(t) соотношениями
t
(^(i')xl))(t)=^(TU{s})rfs,
о
(Л+ (<)4>)(t) = 2 1 i°.'i
(Л(<)^)(т) = 21Ю Ms)vW- <L2>
Оператор Л(^) переводит rn=r"(L2(R+)) в Гп_ь Л+ (t) переводит Г" в Г"+ь и
A (t) переводит Г* в Г". В квантовой физике Л (t) является оператором
уничтожения (бозона на временном отрезке [0,/]), Л+ (t)-оператором
рождения, A(t)-оператором числа частиц ^бозонов). Общей инвариантной
областью,определения является подпространство Г", состоящее из векто-
104
ров ^6Г(1)) таких, что
л1т1Жт)12!* (dx)< 00
для всех Я>0. Операторы A (t), Л+(7) однозначно продолжаются до замкнутых
взаимно сопряженных операторов (для которых сохраняются прежние
обозначения). Операторы А(0, а также
Q(t)=A(t)+A+(t), P(t)=i(A+(t)-A{t)) (1.3)
являются существенно самосопряженными на Г" (см., например, [6], [29]).
Из определений (1.2) вытекают следующие коммутационные соотношения на
[Л (О, Л(5)] = 0, [Л+(<), л+(5)] = о,
(Л (О, Л+(5)1 = (*Л5)1, (1.4)
[A(<),A(s)] = 0,
[А(О, Л($)]= -A(tAs), [Л(*)> Л+ (s)] = Л+ (^As), где <A5 = min
((, s). Отсюда следует, что
[Q(f). Q(s)] = 0, [Р (t), Р (s)] = 0,
[Qtt). P(s)] = 2t(<As)I, (1.5)
[A(<), Q (s)] = -iP(fAs), lA(t), P(s)] = iQ(tAs).
Пусть /¦6L2(R+). Экспоненциальным вектором называется вектор "ф/бГ (^)
такой, что "ф/(0) = 1, ^/(т) =П/(*). Скаляр-
ное произведение двух экспоненциальных векторов
оо
<^/Ю =ехР
о
Из (1.2) следует, что Л (t) г^ = ^ / (5) ds^j
Вектор фо> соответствующий /=0, называется вакуумным век-
тором. Для него
Л(ОЧ>о=0, Л(Офо=0. (1.6)
Линейную оболочку семейства экспоненциальных векторов обозначим Ге. Она
плотна в Г(^) (см., например, [96]).
1.2. Стохастический интеграл. Одно из основных свойств пространства
Фока - функториальное свойство
г(*,(r)ы=г(*1)(r)г(ы, С1-7)
105-
в частности, для любого /GR+
Г (L2 (R+)) =Г (L2 (0, t)) 0Г (L2 (/, оо)).
(1.8)
При этом экспоненциальные векторы, включая вакуумный, также факторизуются
Поскольку L2(R+) можно рассматривать как непрерывную прямую сумму (прямой
интеграл) одномерных гильбертовых пространств, пространство T(L2(R+))
является, в определенном смысле, непрерывным тензорным произведением. Эта
структура лежит в основе связи между пространством Фока, безграничной
делимостью и процессами с независимыми приращениями (см., например, [96],
[138]).
