Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 46

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 64 >> Следующая

'S ( - ^;)[A*A'ft]'i|)ft ) >0.
J,k
Для того чтобы функция S'(К) представлялась в виде предела (2.9),
необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла одному из условий этого
предложения, была т-непрерывна и ¦27(0)[1] = 0. Такие функции будем
называть квазихарактеристи-ческими.
Семейство инструментов {Л^; ^6R+} образует сверточную полугруппу,
если t, s6R+. Очевидно, что все ин-
струменты безгранично делимы. Пусть Ф((Л) -характеристическая функция
инструмента Соотношение
Ф,(Л) =ехр tg (К); *6R+, (2.12)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между квази-
характеристическими функциями 2 (Я) и сверточными полугруппами вполне
положительных инструментов, удовлетворяющими условию непрерывности
lim \\Jft (?70) -ld(( = 0 (2.13)
/->о
для любой окрестности нуля U0.
Следующий результат можно рассматривать как обобщение представления
Леви-Хинчина для логарифма характеристической функции безгранично
делимого распределения.
Теорема. Для того чтобы функция 2(Л) со значениями в
была квазихарактеристической, необходимо и достаточно, чтобы она
допускала представление
2 (Я) =2о+2г М +2 2 (Я), (2.14)
где 2 о- вполне диссипативное отображение вида (3.2.5),
2Х (Л)[А"] = о2 ^(L*XL - L*L°X)-\-iX{L*X-\-XL)--^^'lX'j, (2.15)
причем о2>0, LGЪ(3ё), т. е. функция типа (2.11);
2*2 (*)!*-]= 2 j (v:xvre^*-v:vr°x) p.rs (dx) -f
r,i=l R\0
°° C
+ 2 ^A' J (eUx-l)^(^) +
i=l R\0
+ 2 S (e'^~l)^0(dx) +
r=l R\0
+ [ S {еах-^~т^г)ы^х) + 1а%
Lr\o
7*
99-
где aGR, У*€(r)(30), a [nr>iSJr,i=i,2,...- положительно определенная
матрица комплексных мер на R\0, такая, что ряд
оо
2 Hr*(R\0)V*Vr сходится щ^-слабо, и
г ,i=l
^ х2 ' Цоо (dx) <с ОО .
R\0
Доказательство формулы (2.14) использует разновидность конструкции
ГНС, которая сопоставляет условно положительно определенной функции 2?
(Я) пару коммутирующих коциклов алгебры $8 (Ж) и группы R, а также
сведения о структуре этих коциклов [96], [84], [76] (доказательство
проходит для любой алгебры фон Неймана и абелевой локально-компактной
группы). Перенесение вероятностного метода, основанного на понятии
сопровождающего закона, представляется в некоммутативной ситуации
затруднительным.
Вероятностный смысл каждого из слагаемых в формуле (2.12) выясняется
в связи с процессами непрерывного измерения.
2.5. Инструментальные процессы. Пусть ^ - пространство всех
вещественных функций на R, 3Sa,b - сг-алгебра, порождаемая приращениями
y(s)-y(t); a^t<Zs^b. Инструментальным процессом с независимыми
приращениями (и. -процессом) называется семейство {Jfa, ь] a, b?R, а^.Ь},
где ЛРВ| ь - инструмент (в алгебре наблюдаемых) со значениями в (°{/,
Зва,ь), причем
JTa, b (Е) -jTb, с (F) =Jfa< е (Ef}F), (2.17)
если а^.Ь^.с и Е?38а Ь, F&3lb с. Если все инструменты вполне
положительны, то и.-процесс называется вполне положительным. Для любого
оператора плотности S и временного промежутка [а, b] и.-процесс
определяет распределение вероятностей
|1в(?)=Тг5ЛРв1"(?)[1]; ?еЛ.,*, (2.18)
на пространстве траекторий y(t)\ ^6[а, Ь]. С физической точки зрения,
исходом непрерывного измерения является производная у(t), однако
оказывается, что распределение (2.18) сосредоточено на недифференцируемых
функциях. Это определение, данное в [102], является модификацией
определения Дэвиса [78], использовавшего лишь пространство скачкообразных
функций и более общего определения Баркиелли, Ланца, Проспери [59],
основанного на пространстве обобщенных функций. В случае dim <9^=1 и.-
процессы - это обычные вещественные процессы с независимыми приращениями.
Всякий и.-процесс однозн%чно определяется набором своих конечномерных
распределений, ко-
100
торые в силу (2.17) имеют следующую структуру
Л*т",тр(г/(-):У(^)-У(то)е^,, ..У(у) - У(-1р^)еВр) = ==*/^,т01т, (У
(')'У (tj) - у (t0)65i). ..
• • • • 'ГР(У (¦)-у (ь)-У frp-i №р)'
где т0<т!< ...<тр] Ви Bpe$(R).
И.-процесс называется однородным, если для любых а, Ь, t6R
выполняется
rfa+v,b+ATAE)) = jra,b(E), Е?(r)а,ь,
где (Txy)(t) = y (г' + т). Соотношение
tft(B) = jra>a+t(y(-):y(a + t)-y(a)?B); B?$ (R), (2.19)
определяет тогда сверточную полугруппу инструментов, через которую
конечномерные распределения выражаются по формуле
и,хр(у(-)-у(ti)-у(т0)бА" • • •. у(V-у(^-0е^)=
= ^tl_t.(5,) - • • • -^-Vl(5p). (2.20)
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed