Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
которое осуществляется над системой в состоянии 5. Совместная вероятность
того, что исход первого измерения х попадает в множество А, а исход
второго у попадает в В (где А<^36, Bcz°У) есть
ц8(Л; Б)=ц8(Л)ц8(Б|Л), (1.1)
где ц8(^)=Цз(^; <У) -вероятность того, что х?А, а цв(б|^) -
соответствующая условная вероятность. Обозначим SA состояние системы
после первого измерения (оно зависит также от 5, но не зависит от В).
Тогда, согласно (2.1.4),
MBH)=TrSAM(B), (1-2)
где М - разложение единицы, отвечающее величине У. Из (1.1),
(1.2) видно, что функция множеств
^(Л)[5] = ца(Л)5А
должна быть о-аддитивна по А. Это мотивирует следующее определение (Дэвис
и Льюис, 1970).
Пусть 36 - множество с о-алгеброй измеримых подмножеств 9&(96).
Инструментом (в пространстве состояний) со значениями в 36 называется
функция множеств Ж, заданная на $(96) и удовлетворяющая условиям:
1) М(В) -операция для любого В?<М(36)\
2) Ж(36)-динамическое отображение, т. е. г\тМ(36)\Т\= = Tr Т для
всех Т^Ч,(Ж)\
3) если {В}}<^38(&?) -конечное или счетное разбиение множества
В?$!(35) на попарно непересекающиеся подмножества, то
Ж (В) [Г] = 2^г(5;) [71; Т&(Ж),
1
где ряд сходится по норме Х(Ж).
Постулируется, что если 5 - оператор плотности, описывающий состояние
системы перед измерением, то вероятность собы-
85
тия, что исход измерения попадает в множество Ве$1(8?), равна
Hs(5) =Tr J((B)[S], (1.3)
а состояние доли статистического ансамбля, в которой зареги-
стрировано это событие, дается оператором плотности
SB=JC{B) [5]/Тг v# (В) [5] (1.4)
(при условии, что (xs(B)>0). В частности, изменение состояния всего
статистического ансамбля задается динамическим отображением S-+^(SP)[S].
Переходя к сопряженным отображениям JF(В) = J? (В) *, получаем
формулировку в алгебре наблюдаемых: инструмент -
это функция множеств JF на такая что
1) Jf(B)-положительное нормальное отображение 93(Ж) в себя для
любого В^$(8В)\
2) I]=I;
3) если {В)}с^(^') -разбиение множества В, то
Ж{В)[Х] = ^{В^[Х\, хещж),
j
где ряд сходится ш*-слабо.
Каждому инструменту отвечает обобщенная наблюдаемая
M{B)=JT{B)[I]; ВШ(%), (1.5)
такая, что
цв(В) = Тг SM(B).
Озава [135] показал, что для любого инструмента Ж и любого состояния 5
существует семейство апостериорных состояний {S*; хбЯ?}, т. е. операторов
плотности Sx, таких что:
1) функция л:->-Тг Sxy [Xs-измерима для любого Уб93(,2&);
2) Trjr(B)[S]y=/(TrS,y)|is(dx).
в
Оператор плотности Sx описывает состояние доли статистического ансамбля,
в которой исход измерения равен х, а величина Тг 5хУ=Е8(У|д:) есть
апостериорное среднее наблюдаемой У при условии, что исход предыдущего
измерения равен х.
Инструмент Ж (или JF) называется вполне положительным, если
отображения Jf(B); B?@(3S), вполне положительны.
Пример 1. Пусть Л = 2лг;?',- - вещественная наблюдаемая с
чисто точечным спектром. Соотношение
uf(5)[S]= 2 E'SE' о-6)
i:xiGB
определяет вполне положительный инструмент со значениями в R,
соответствующий проекционному постулату фон Неймайв, который описывает
предельно точное измерение наблюдаемой А.
'86
Распределение вероятностей в состоянии S есть
мд)= 2 TrS?i'
i-.x&B
а апостериорные состояния даются формулой
S^EtSEJTr SE<. (1.7)
Пример 2. Пусть А - вещественная наблюдаемая и р(х)-плотность
распределения вероятностей на R, такая что
ОО ОО
xp(x)dx = 0, ^ x2p(x)dx = o2 < оо. (1-8)
- оо -оо
Вполне положительный инструмент
Л (В) [S] =^Vp(xl-A)SVp (¦*! - А)dx (L9)
в
описывает неточное измерение наблюдаемой А со случайной ошибкой,
распределенной с плотностью р(х). В самом деле
ps(B)= TtSp (л:1 - A) dx =
В
= S (dy)dx,
В
где ЦвА - распределение вероятностей наблюдаемой А в состоянии S.
Апостериорные состояния суть
у р (х\-A) S Vр (-*1-А)
^х Tr Sp(xl-A) •
Чем меньше о2, т. е. чем ближе р(х) к S-функции, тем точнее измерение
наблюдаемой А. Для наблюдаемой А с чисто точечным спектром случай о2=О
соответствует примеру 1; для наблюдаемой с непрерывным спектром возникают
принципиальные трудности, не позволяющие непосредственно обобщить
проекционный постулат на этот случай (см. далее п. 1.3).
1.2. Представление вполне положительного инструмента. Многие
