Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 45

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 64 >> Следующая

Инструмент Jf со значениями в R называется
безгранично-делимым, если для любого я = 1,2, ... найдется инструмент
такой, что Jf = Jf(n)* ¦ ¦ • *•/*%) =J?\h). Проблема непрерывного
измерения оказывается тесно связанной с пределами п-кратных сверток вида
Jf{n) при п-+ оо и со структурой безгранично-делимых инструментов.
Решение этих вопросоз опирается на некоторое обобщение метода
характеристических функций в теории вероятностей.
Обозначим банахову алгебру ш*-непрерывных линейных отображений Ъ(Ж) в
себя с произведением Ф •'ЧГ[^] = Ф[ЧГИ]. Единицей в этой алгебре является
тождественное отображение, обозначаемое Id. В алгебре вводится топология
-г, определяемая семейством полунорм
II Ф II5 = sup j Тг 5Ф [X] |, 56(c) (36).
|1Х||<1
96
Характеристическая функция инструмента JY* определяется соотношением
Ф(X) [а] = J (dX) [А"], (2.8)
R
где интеграл сходится в топологии т. Функция Ф(А,) со значениями в
является характеристической функцией вполне положительного инструмента
тогда и только тогда, когда
1) Ф (0)[I] = I;
2) Ф(А,) т-непрерывна в точке ^ = 0;
3) Ф(>.) положительно определенна в следующем смысле: для любых
конечных наборов {ур^сЖ, {A^cR, {X,}ci0(,9?)
2 < У] \ ф - Xi) 1Л'*Х*И* > > °-
j,k
(аналог теоремы Бохнера-Хинчина, сводящийся к ней в случае dim Ж = \).
Характеристическая функция свертки есть
поточечное произведение соответствующих характеристических функций
(А)-...- Ф" (X), поэтому д-кратная свертка
Jf*n) имеет характеристическую функцию Ф(Л)(^)л, где Ф(")(Л) -
характеристическая функция инструмента Jf(ny Распределение вероятностей
суммы п повторных измерений, описываемых
инструментом определяется формулой
jj "'*><."> (dx) = Тг 5Ф(Я)(Х)п [I].
R
Следующее утверждение является аналогом центральной предельной теоремы
в схеме серий.
Предложение. Пусть - последовательность впол-
не положительных инструментов и пусть существует т - непрерывный предел
т - lim п (Ф(" )(Х) - Id) = 3' (X). (2.9)
п-+ оо
Тогда свертки слабо сходятся к безгранично делимому
инструменту Л1 с характеристической функцией ехр2'(А,)1) в том смысле,
что
т -lim {x)Jf{n){dx) = ^ f(x)JY'(dx)
R R
для всех непрерывных ограниченных функций f(x).
Заметим, что аналог классического условия асимптотической
пренебрегаемое(tm)
lim || Ф(П)(Л) -Id || = 0
ч Имеется в виду экспонента в банаховой алгебре So-
7-9280
97
в общем случае не влечет (2.9). Вопрос об описании возможных пределов т -
lim Ф(Л) (^) при одном этом условии остается
П-*-со
открытым.
Пример. Пусть А, Н- (ограниченные) вещественные наблюдаемые, р(х) -
плотность распределения вероятностей на R, удовлетворяющая условиям
(1.8). Рассмотрим вполне положительный инструмент
Jr{n)(B)lX] = e""i"Vn j Y р (У nxl--^A\ X
В ' У п 1
X A' j/" р |'у п х\--~:А^ dxe~iiHln. (2.10)
Свертка Jf\n) имеет следующую статистическую интерпретацию. Рассмотрим
квантовую систему, динамика которой на интервале [0, t\ описывается
гамильтонианом И. В моменты времени
tj = jtln\ 7=0,1, 1, производится приближенное изме-
рение наблюдаемой А с дисперсией na2 = n\x2p{x)d,x, а затем
/г-1
берется среднее - 2 а (*/Я>) полученных результатов a{t{p) п у=о
(которое имеет дисперсию а2). Предел при я-"- оо соответ-t
ствует среднему у^а(т)^т результатов га(т) некоторого
о
"непрерывного измерения" наблюдаемой А. Вычисления показывают, что для
достаточно гладкой плотности р{х) предел
(2.9) равен
Я(ЩХ] = И[Н, *] +
+Lj{AXA - A2°X)-\-iXA°X - ~о2№Х, (2.П)
где 1 = 1р'(х)2р(х)~'йх - информационное количество Фишера для семейства
плотностей {/>(*+0)} с параметром сдвига 06R, так что о2/>1.
2.4. Сверточные полугруппы инструментов. Следующий результат типа
теоремы Шенберга (см., например, [96], [138]) перебрасывает мост между
скалярными условно положительно определенными функциями и вполне
диссипативными отображениями (п. 3.2.2).
Предложение. Пусть 2(А,)-функция со значениями в Наследующие условия
эквивалентны:
1) exp t3? (А,) положительно определенна для всех ^0; "
2) функция S'i'k) эрмитова, т. е. 2? (-к)[Х*]=2? (Х)[Х\*
98
и условно положительно определенная, т. е. для любых конечных наборов
{A,}c:R, {XJczSBffi) таких, что 2А,г|^ = 0
j
выполняется
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed