Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 44

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 64 >> Следующая

возбуждаемый скалярной силой ф(/), описывается уравнениями
Q{t) = tnxP {t), P{t)=-tnuzQ(t) + y{t)\, (2.3)
где Q (0) = Q, P(0) = P -канонические наблюдаемые, т. е.
[Р, Q] = /I. Положим AU = Q cos at - (P/та) sin at, так что
А (t) = Q (t) cos сot - (P (t)/ma) sin at.
Из уравнений (2.3)
Л (0 = - (ф (0/та) sin at I, (2.4)
поэтому наблюдаемые Ах (t) совместимы при разных t и воз-
можно непрерывное неразрушающее измерение семейства (Ai(/)}. Сила ф(^)
может быть определена по любой траектории из соотношения (2.4).
Аналогично, для A2t=P cosat-\-maQ sin со^ получаем семейство
совместимых наблюдаемых
Aa(t) =P(t)cos o)/+mo)Q(^)sin at,
для которого A2(t) = ф(/)cos со/I. Заметим, что Л, (t) и A2(t)
несовместимы, поскольку [A2(t), Аг (t)\ = i\. Действуя в духе п. 2.1.3,
рассмотрим семейство совместимых наблюдаемых
A(0=A(o(r)i0-i(r)Q0; л2(о=л2(О(r)10+1(r)/э0 (2.5)
94
в пространстве (см. [103]). Сила ср(/) определяется тог-
да из соотношения
Ф (t) = со s Л2 (t) - mw sin (^).
2.2. "Квантовый парадокс Зенона". Попытки рассмотрения непрерывных
измерений несовместимых наблюдаемых, опирающиеся на проекционный
постулат, приводят к парадоксальным выводам, в основе которых лежит
следующий математический факт. Пусть Н - самосопряженный оператор из S3
(Ж), Е - проектор, тогда
lim (Е exp (itH/ri) Е)п = Е ехр (ПЕНЕ). (2.6)
П-+со
Это следует из того, что Цехр(itH/n)-I-itH/n\\=o(l/n) и Е2 = = Е.
Обобщение этого результата на случай неограниченного Н является непростой
задачей; некоторые условия были получены Фридманом [86]. Его результаты
включают случай, когда 5^=L2(R"), Н = -Д/2т - гамильтониан свободной
частицы в R", a E = lg,(-) -индикатор ограниченной области 2)cR" с
гладкой границей.
Рассмотрим свободную частицу, эволюционирующую на временном интервале
[0, t), и предположим, что в каждый момент времени tk/n, k = Q, 1, . . .,
п, производится точное измерение наблюдаемой Е, описываемое проекционным
постулатом (1.6). Если исход измерения равен 1, то это означает, что
частица находится в области 3). Вероятность того, что во всех п+1
измерениях получен исход 1, есть
(j,s (1, .. ., \)=Tr(E exp(iiH/n)E)nS(E exp(itH/n)E)n
и при п->-оо в силу (2.6) стремится к
Тг Е exp (itEHE)S0 ехр(-ИЕНЕ)Е = Тг S0E, (2.7)
где S0 - начальное состояние. Если в начальный момент частица находится в
области &), то вероятность (2.7) равна 1 независимо от эволюции, т. е.
при непрерывном точном измерении местоположения частица никогда не
покидает область (см. также Дэвис [78, п. 7.4]). Необычные физические
следствия соотношения (2.6) были подробно рассмотрены в работе Мисры и
Сударшана [130], где для них было предложено общее название "квантовый
парадокс Зенона".
Причина парадокса состоит в том, что измерение, описываемое
проекционным постулатом, переводя состояние системы в состояние,
отвечающее точно определенному значению наблюдаемой, производит конечное
изменение, на фоне которого эффект эволюции за время tin является
пренебрежимо малым при п->-оо. Чтобы избежать этого и получить
нетривиальный предельный процесс непрерывного измерения, включающий
эволюцию, Баркиелли, Ланц и Проспери [59], [60], предложили рас-
95
сматривать последовательность неточных измерений, точность которых
убывает пропорционально числу измерений п. Первоначально описание
предельного процесса в частных случаях связывалось с фейнмановским
интегралом по траекториям (ср. в этой связи также Менский [25]), однако
общая картина прямо основывается на идеях, изложенных в § 1, в частности
на понятии инструмента. В работах А. С. Холево [47], [102] было указано
на параллель такого подхода с классическими предельными теоремами в схеме
серий, причем предельный процесс непрерывного измерения оказывается
некоммутативным аналогом процесса с независимыми приращениями. Подобно
классическому случаю, все такие процессы описываются некоторой формулой
типа Леви-Хинчина [102], [35]. Квантовые случайные процессы в смысле
Дэвиса [78] с этой точки зрения соответствуют сложному пуассоновскому
процессу. Дальше кратко излагаются результаты этих работ.
2.3. Предельная теорема для сверток инструментов. Для простоты
ограничимся измерениями со значениями в R (существенно лишь, что
пространство значений является абелевой локально компактной группой; см.
[102], [35]). Пусть JF\, . . ., Jfn - инструменты (в алгебре наблюдаемых)
со значениями в R. Существует единственный инструмент Jf со значениями в
Rn, такой что
Jf (В,х • • ¦ Xfln)m = ^i(fli)[ • • . tfn(Bn)[X]. . . ]; В?$(R).
Свертка инструментов Jf\, . . ., Jfn определяется соотношением Лх* . . .
*Jfn(B)[X]=Jf((x\ . . . ,хп) : xi+ . . . +x"GB); flGjf(R).
и, согласно формуле (1.13), описывает статистику суммы исходов п
последовательных измерений, отвечающих инструментам J?x,
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed