Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
tfA{B)\x\=EA{B)&*\XY, fie#(R). (1.18)
Отображение <%ЛА является условным ожиданием на коммутативную
подалгебру {ЕА(В) \ 66^(R)}'=0A, порожденную наблюдаемой А. Если А имеет
чисто точечный спектр, то &/'-есть нормальное условное ожидание,
задаваемое формулой
(3.1.5), а соотношение (1.18) совпадает с проекционным постулатом (1.6).
В общем случае отображение &^А не нормальное, а функция множеств (1.18)
обладает всеми свойствами воспроизводимого инструмента, кроме
нормальности.
Вероятности последовательного измерения наблюдаемых Аи .. . ,Ап
даются обобщением формулы (1.16)
^•'•••'Л'Ч?1Х...ХВ") =
=тг sjf а, (ад.. .JfAn(Bn)[ I]...]. (1.19)
Если Л,, Ап совместимы, то S'^i[EAk(б)] = Елк{В), откуда
..АЛВХ X . . • X B") = Tr SEAl (Вх).. -Еап (Вп), (1.20)
т. е. распределение вероятностей последовательных точных измерений
совместимых наблюдаемых совпадает с распределением точного совместного
измерения этих наблюдаемых (см. п. 1.1.5) -результат, который
подтверждает правомерность "обобщенного проекционного постулата" (1.18).
С другой стороны, если А, несовместимы, то из-за не нор-
А. '
мальности отображений функция множеств (1.18) может
оказаться лишь конечно аддитивной на 31 (R). Для того чтобы восстановить
ст-аддитивность, необходимо рассматривать распределение на
компактификации вещественной прямой R = = RU{-oo}U{oo}. Например, после
точного измерения наблюдаемой координаты Q система переходит в не
нормальное состояние, в котором импульс Р с положительными вероятностями
принимает значения ±оо[153].
Ч См. Ф. Гринлиф. Инвариантные средние на топологических rpyMlax и
их приложения.- М.: Мир, 1973.
92
Озава [136] построил процесс косвенного измерения, отвечающий
обобщенному проекционному постулату (1.18) и разъяснил роль инвариантного
среднего т|. Рассмотрим наблюдаемые Q, Р во вспомогательном гильбертовом
пространстве Ж0 - = L2(R), которое будет описывать "пробную систему".
Пользуясь теоремой Банаха о продолжении, можно показать, что для любого
т| на алгебре %(Жо) существует (не нормальное) состояние Ец, такое, что
B,(HQ))=HQ), E*(f(P))=Mf),
для любой /eC(R). Пусть f/(=exp(-itHmt)- унитарная эволюция в
где
Nint=k(A(r)P), (1.21)
причем К может быть выбрано произвольно большим, чтобы пренебречь
свободной динамикой системы и прибора. В [136] показано, что для любого
(нормального) состояния S и любого Хе%(Ж)
Tr SJfA (В) [Х\ = (?* (r)?") (Ui,k (X(r)EQ (В)) Ui/K); В?$ (R).
Таким образом, пробная система, находящаяся в состоянии Ец с точно
определенной координатой, в течение времени 1/Л взаимодействует с
наблюдаемой системой согласно (1.21), после чего производится точное
измерение координаты пробной системы.
Такая схема является обобщением процедуры косвенного измерения,
рассмотренной фон Нейманом в случае чисто точечного спектра ([26, гл. VI,
п. 3]). В принципиальном плане она сводит измерение произвольной
квантовой наблюдаемой к измерению координаты пробной системы, при условии
реализуемости гамильтониана взаимодействия (1.21).
§ 2. Процессы непрерывного измерения
2.1. Неразрушающие измерения. Рассмотрим изолированную квантовую
систему, эволюция которой описывается группой унитарных операторов {Ut\
/"6R} в гильбертовом пространстве Ж. Пусть {Ан; / = 1,...,т; №Т), где
TczR - семейство вещественных наблюдаемых. Обозначим
A}(t) = U)AjtUt- tbT, (2.1)
и предположим, что для любых моментов времени tx<. ... <tn и любых
j\,...,jn наблюдаемые Ajt(tx), ..., Ajn(tn) совместимы. Согласно формуле
(1.20), последовательное точное измерение наблюдаемых A}l(t{), ...,
Ajn(t") (jk = 1,..., m) имеет распределение вероятностей
X ••• X ья) = Тг SE(<,) (5j).. .Е(tn) (Вп), (2.2)
93
где BkQ$(Rm) и E{tk) - совместная спектральная мера наблю* даемых (tk)\ j
= 1, ..., т.
Семейство вероятностных мер (2.2) при всевозможных п= = 1,2,...;
tu...,tn является согласованным. Используя теорему А. Н. Колмогорова о
продолжении, можно доказать, что существует единственное ортогональное
разложение единицы Е на Jf(RT), где J?(RT) -о-алгебра цилиндрических
множеств на пространстве траекторий RT такое, что
?(*(•)'--к (*i)6?i> ..., x(tn)?Bn) = Е(ti) (Вг).. .E(ifi) (Вп).
Оно описывает статистику непрерывного (во времени) точного измерения
семейства совместимых наблюдаемых (2.1), в том смысле, что вероятность
подмножества В в пространстве траекторий есть
M*(-)6S)=Tr SE(B).
В физике подобные измерения получили название неразрушающих и
привлекли внимание, в связи с задачей обнаружения слабой силы
(гравитационной волны), действующей на пробную систему [69], [140].
Пример. Квантовомеханический осциллятор массы тис частотой to,
